فضاء متجهي مقدمة وتعريف

مقدمة وتعريف

المثال الأول الأسهم في المستوى

text- 1 auto 1 auto


50 Vector addition3.svg 180 Vector addition the sum math v + w (black) of the vectors math v (blue) and math w (red) is shown.

50 Scalar multiplication.svg 230 Scalar multiplication the multiples math −v and math 2w are shown.

المثال الثاني أزواج مرتبة من الأعداد

المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية x و y (الترتيب الذي جاءا فيه العددان x و y مهم. لهذا السبب سمي هذا الزوج ب زوج مرتب ).

(< >x1, < >y1) + (< >x2, < >y2) (< >x1 + < >x2, < >y1 + < >y2)

و

(< >a&thinsp (< >x, < >y) (< >ax, < >ay.

تعريف

فضاء متجهي معرف على حقل (رياضيات) حقل F هو مجموعة عُرفت عليها عملية ثنائية عمليتان ثنائيتان ، تحققان الموضوعات الثمانية أسفله. عنصر عناصر F تسمى < >كميات قياسية أو < >كميات سُلمية أو < > كمية عددية كميات عددية . مثل عدد حقيقي الأعداد الحقيقية أو عدد عقدي الأعداد العقدية . في هذا المقال مُيزت المتجهات عن الكميات القياسية بكون الأولى (أي المتجهات) مكتوبة تغليظ بخط غليظ . كما جرت العادة أيضا، وخصوصا في الفيزياء برسم سهم أفقي فوق اسم المتجهة كما يلي vec v.

0 100

الموضوعة المعنى


عملية تجميعية تجميعية الجمع u + (v + w) (u + v) + w

– F8F4FF
عملية تبديلية تبديلية الجمع u + v v + u


عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد للجمع يوجد عنصر 0 ∈ < >V, يُدعى < > المتجه الصفري , حيث v + 0 v من أجل جميع المتجهات v ∈ < >V.

– F8F4FF
عنصر معاكس العنصر المعاكس للجمع من أجل جميع المتجهات v ∈ V, يوجد عنصر −v ∈ < >V, يُدعى < > معاكس جمعي المعاكس الجمعي لv, حيث v + (−v) 0


توزيعية ضرب كمية قياسية (أو قد تُسمى عددا سُلميا) في مجموع المتجهات & sp & sp < >a(u + v) < >a< >u + av

– F8F4FF
توزيعية الضرب القياسي المعرف على المجال الجمع (< >a + < >b)v < >a< >v + bv


Compatibility of scalar multiplication with field multiplication < >a(< >b< >v) (ab< >)v This axiom is not asserting the associativity of an operation, since there are two operations in question, scalar multiplication bv and field multiplication < >ab.

– F8F4FF
عنصر محايد (رياضيات) عنصر محايد لعملية الجداء السلمي 1v v, حيث 1 يرمز إلى العنصر الحيادي لعملية الجداء في < >F.

  • ضرب قياسي (بعدد سلمي حقيقي) < >av حيث < >a ∈ < >F وv ∈ < >V
  • من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية على جمع الحقول من أجل < >a, < >b ∈ < >F وv ∈ < >V لدينا (< >a + < >b) v < >a v + < >b v.

التاريخ

تنبثق الفضاءات المتجهية من هندسة أفينية الهندسة التآلفية ، من خلال تقديم نظام إحداثي الإحداثيات في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في حوالي عام 1636، أسس كل من رينيه ديكارت ديكارت و بيير دي فيرما فيرما الهندسة التحليلية ، وذلك من خلال الربط بين حلول معادلة ذات متغيرين من جهة، ونقط من منحنى في المستوى من جهة ثانية.

عرفت الفضاءات المتجهية تطورا مهما يعود فضله إلى وضع أسس فضاء الدوال فضاءات الدوال من طرف هنري لوبيغ .

أمثلة

مقال تفصيلي أمثلة على الفضاءات المتجهية

فضاءات الإحداثيات

مقال تفصيلي فضاء الإحداثيات

الأعداد العقدية وامتدادات حقول أخرى

مجموعة عدد مركب الأعداد العقدية تكون فضاء متجهيا.

انظر أيضا إلى امتداد الحقول وإلى نظرية الأعداد الجبرية

فضاءات الدوال

(< >f + < >g)(< >w) < >f(< >w) + < >g(< >w)

انظر إلى فضاء الدوال وإلى مستقيم الأعداد الحقيقية .

المعادلات الخطية

مقال تفصيلي معادلة خطية معادلة تفاضلية خطية نظام معادلات خطية


text- right < >a

+
3< >b

+
text- right < >c

0

4< >a

+
2< >b

+
2< >c

0

القواعد والبُعد

مقال تفصيلي قاعدة (جبر خطي) بعد (فضاء متجهي)

التطبيقات الخطية والمصفوفات

مقال تفصيلي تحويل خطي

المصفوفات

مقال تفصيلي مصفوفة محدد (مصفوفات)

Matrix.svg شكل مبين لمصفوفة

mathbf x (x_1, x_2, cdots, x_n) mapsto (sum_ j 1 ^n a_ 1j x_j, sum_ j 1 ^n a_ 2j x_j, cdots, sum_ j 1 ^n a_ mj x_j
ight)

حيث sum تعني جمع (رياضيات) الجمع .

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

مقال تفصيلي القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

فضاءات متجهية بُبنى إضافية

فضاءات متجهية طوبولوجية

مقال تفصيلي فضاء متجهي طوبولوجي

فضاءات باناخ

مقال تفصيلي فضاء باناخ

فضاءات هيلبرت

مقال تفصيلي فضاء هلبرت

تطبيقات

التوزيعات

مقال تفصيلي توزيع (رياضيات)

تحليل فورييه

مقال تفصيلي تحليل فورييه

الهندسة التفاضلية

مقال تفصيلي فضاء المماس

تعميمات

Vector addition ans scaling.png جمع المتجهات والضرب في كمية قياسية متجهة v (باللون الأزرق) أُضيفت إلى متجهة أخرى w (باللون الأحمر, في أعلى الشكل). أسفله, w ضُربت في معامل مساو ل 2, مما أعطى المجموع nowrap v + 2·w .

الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي إنك Vector space هو كائن أساسي في دراسة جبر خطي الجبر الخطي . هو مجموعة من عدة متجه متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد, التي يطلق عليها كمية قياسية (رياضيات) كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات عدد حقيقي أعدادا حقيقية , ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من عدد مركب أعداد مركبة أو عدد نسبي أعداد نسبية أو حتى حقل رياضي حقول عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى بديهية موضوعات جاءت أسفله. فضاء متجه المتجهات الإقليدية هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات فيزياء فيزيائية مختلفة قوة كالقوى وغيرها.

فعندما نعتبر متجه المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من متجه جمع متجهات جمع و ضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل انغلاق الانغلاق و التجميعية ، فإننا نصل لوصف كائن رياضي يُدعى < >فضاءً اتجاهياً.

المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فكثيرات الحدود من الرتبة ≤< >n مع معاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً على سبيل المثال.

تدرس الفضاءات المتجهية في إطار جبر خطي الجبر الخطي وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي بعد (فضاء متجهي) ببُعده . يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى معيار (رياضيات) كالمعيار و فضاء الجداء الداخلي الجداء الداخلي .

تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار هندسة تحليلية الهندسة التحليلية و المصفوفات و معادلة خطية المعادلات الخطية والمتجهات الإقليدية. انظر إلى جيوسيبي بيانو وإلى أعماله في هذا المجال.

حاليا، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات و علم العلوم و هندسة تطبيقية الهندسة ، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة نظام معادلات خطية أنظمة المعادلات الخطية ، وتُشكلن أيضا الإطار العام لدراسة متسلسلة فورييه متسلسلات فورييه اللائي يستعملن بدورهن في ضغط الصور ، ولتقنيات حلحلة معادلة تفاضلية جزئية المعادلات التفاضلية الجزئية . انظر أيضا إلى موتر و متعدد شعب متعدد شُعب و جبر تجريدي .

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى