الجديد جينيليا ديسوزا حياتها شخصية - هاتف وعنوان مؤسسة الجارالله للأجهزة المنزلية - الباحه - مهرجان تدمر السياحي - طريقة تحضير الكروكي السطايفي بالصور - [بحث جاهز للطباعة] طرائق التدريس - - مدريقة أسماء أخرى - ثابت تفكك الحمض استنباط ثابت التوازن - سحر جوليا (مسلسل) ملخص القصة - أرقام الهاتف في تونس ترقيم الهاتف القار - طريقة تحضير فوتشيني بالهوت دوق خطوة بخطوة - جيسي جين الافلام - منوز (المخادر) المحلات التابعة للقرية - خريطة كارنوف شرح تطبيقي ومثال في كيفية استعمال الجدول - طريقة تحضير التويتات بطريقة سهلة - [بحث جاهز للطباعة] أروع بحث عن العالم فيثاغورس - - هاتف وعنوان مشغل نورة النسائي - العزيزيه, مكة المكرمة - أرض الله الصغيرة (رواية) - مصطفى دياب (ممثل) أعماله - ملهم (حريملاء) - هاتف وعنوان مستشفى عبيد التخصصي - الملز, مدينة الرياض - بويراز كارايل (مسلسل) قصة المسلسل - هاتف وعنوان مؤسسة المحيسن للتجارة والتعهدات - الملز, مدينة الرياض - الاستكمال الرياضي بفروق نيوتن طرق الاستكمال - التاجر (مسلسل) التاجر (مسلسل) - رحيمو (فيلم) - بلاغ للرأي العام (مسلسل) قصة المسلسل - مشهور بن مساعد بن عبد العزيز آل سعود أسرته - التوجيه 41 - نترات النحاس الثنائي الخواص - عدد السعرات الحرارية في تشيكن ماك ناجتس 9 قطع ماكدونالدز - ظاهرة الثأر تعريف الثأر - قيس وليلى (فيلم) فيلم قيس وليلى - قائمة أمثال حجازية أمثال الحب والكراهيه - هاتف وعنوان مطعم مندي عسير - عريجا, مدينة الرياض - فتحي المسلماني عن حياته - ورم الخلايا الكبيرة المتحولة اللمفاوي علامات وأعراض - نقاشات حول ليفي (كتاب) - المحقق كونان (الموسم 20) عناوين الحلقات - مستذئبو تيارسوليو وصف - ارقام تلفونات مخافر الكويت والمراكز الامنية - إنتل 8086 المسجلات في المعالج - مكافئ رملي (اختبار) الطريقة - لاورا هادوك - هواتف شركة المنجوف للمقاولات والصيانة ومعلومات عنها بالسعودية - دخيلة (رواية) - الطريق إلى الهاوية (فيلم) القصة - طريقة تحضير عصـــير الصمــدي خطوة بخطوة - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج الالتهاب الكيسي والأوتار بالاعشاب - قائمة شخصيات طوكيو غول الشخصيات الرئيسية - كونتيسة كاغليوسترو ملخص الرواية - كبسولات تحت الجلد لمنع الحمل - المريدسية (بريدة) علمائها - ذا منتاليست قصة المسلسل - هاتف وعنوان منجرة علي الشهراني للموبيليا - خميس مشيط, عسير - حاجز بن عوف الأزدي أشد و أسرع عدوه - لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة - جيون الكترونيك منتجات الشركة - تشوهات قوامية - هاتف وعنوان الشدوخي للمفروشات - بريده, القصيم - ثورة ضد الإله (كتاب) - طريقة عمل طبخة الدجاج او المكسيكي المكسيكانو من مطبخ منال العالم - هاتف وعنوان مطاعم الارنب الجائع - المبرز, الاحساء - طريقة عمل بتر تشكين من مطبخ منال العالم - لهجة زهرانية الكلمة ومعناها باللهجه الزهرانية - بيجو 305 - عدد السعرات الحرارية في سندويش شاورما الدجاج والطاقة والقيمة الغذائية - زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح - سور القران لكل شهر من شهور الحمل - هاتف وعنوان مستوصف الروّاد لطب الأسنان - بريده, القصيم - شرنقة (فيلم) بطولة - قشعريرة البرد (فيلم) خلاصة الفيلم - ألكسندر فزنين حياته المهنية - طريقة تحضير خبز الشريك خطوة بخطوة - هاتف وعنوان محل القحطاني للكفرات - خميس مشيط, عسير - داني دانييلس - سيفيوروكزيم دواعي الاستعمال - خدمة استخراج الشهادات الصحية بالمملكة العربية السعودية - مطيافية الأشعة تحت الحمراء النظرية - كثولو ميثوس - قبيلة العبريين نبذة عن القبيلة - العلاج الفعال لمرض جرثومة المعدة ونصائح طبية للمرضى - جامعة الشهباء الكليات - ما هى أعراض و تشخيص الزوائد اللحمية؟ - المحقق كونان (الموسم 9) عناوين الحلقات - [ رقم هاتف]وعنوان المستشفى الأهلي - خميس مشيط, عسير - أحمد بن سليمان الرسموكي سيرته - كاليمانتان الجنوبية جزر المقاطعة - زينب الضاحي عن حياتها - كشف حساب (فيلم) قصة الفيلم - الرحلة 571 لسلاح الجو الأوروغوياني الأحداث - طريقة عمل وصفة الكيك الاسفنجى على طريقة منال العالم - رايبور الجغرافيا والمناخ - المحقق كونان (الموسم 11) عناوين الحلقات - مشعل بن عبد العزيز آل سعود مولده ونشأته - هاتف وعنوان مستوصف الجزيرة - النسيم, مدينة الرياض - هاتف وعنوان عيادة الدكتورة نجمة عبد الشكور - المربع, مدينة الرياض - سنيها يلال الحياة الشخصية والتعليم - اهم انواع مقصات الخياطة وكيفية استعمالها - وقت المغامرة (الموسم الثاني) قائمة الحلقات - هاتف وعنوان مستشفى المانع العام - الخبر, مدينة الخبر -
آخر المشاهدات محامي المدينة عمله - جريان الموائع معادلات حركة السوائل - محامي الشيطان (فيلم) طاقم التمثيل - ديناميكا حرارية أصل الكلمة - هاتف وعنوان الشملان لمطابخ الالمنيوم - بريده, القصيم - سونوكو سوزوكي شخصيتها - محامي اللينكولن (فيلم) طاقم التمثيل - لوحات تسجيل المركبات في تونس أصناف سلاسل التسجيل في تونس - هاتف وعنوان مؤسسة حسن علي الزهراني - الباحه - وصفة العلاج باسماء الله الحسنى - طريقة عمل مكرونة البف باستري بالصور - عدد أنواع الأعداد - مقياس ميكلسون للتداخل طريقة عمله - قرية السهوه بالنماص - المحامي الجديد - شقلبة أنواع الشقلبات - هاتف وعنوان مستوصف آل بطي الطبي - تاروت, الدمام - هاند ريمي حساب الأوراق - مدينة الغجر (فيلم) فريق العمل - محامي خلع (فيلم) قصة الفيلم - الحقيقة والسراب (مسلسل) القصة - أخلاقيات مهنة المحاماة التزامات المحامي - محامي الشيطان - الرواجيح - فيلا لاروش التصميم - تخطيط اجتماعي خصائص التخطيط - هاتف وعنوان شركة الموسى - الهفوف, الاحساء - [بحث جاهز للطباعة] قائمة بعناوين مشاريع التخرج لتخصص الرياضيات - - ريم بنت الوليد بن طلال بن عبدالعزيز آل سعود حسابات التواصل الاجتماعي - قائمة أمثال حجازية أمثال الحب والكراهيه - نفثالين التركيب والتفاعلات - دالة مستمرة دوال مستمرّة بقيم حقيقيّة - هاتف وعنوان شركة حمد العيسى وأولاده للأجهزة المنزلية - خميس مشيط, عسير - أبجدية سيريلية صربية الأبجدية - قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي - جان ماري مولر مؤلفاته - ارقام تلفونات مخافر الكويت والمراكز الامنية - سعيد بن مكتوم آل مكتوم حياته - حمى الروماتزم الأعراض والعلامات - بديهيات بيانو البديهيات - هاتف ومعلومات عن مركز سيتي ماكس التجاري بالرياض - [بحث جاهز للطباعة] طرائق التدريس - - متسلسلة تايلور وماكلورين متسلسلة تايلور المنتهية - طريقة تحضير تشيز كيك المانجو من الشيف منال العالم - طريقة تحضير سمك الحبار المجفف مع الفلفل الاخضر - [بحث] أهم بحث مدرسي عن النشاط الإشعاعي - ملخصات وتقارير للباعة - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج فقدان شهية الطعام وفتح الشهيه للاكل بالاعشاب - هاتف وعنوان مطعم الساحل الغربي - رابغ, جدة - لوحة زمردية تاريخ النص - مسجد التهيمية الغربي - في الظلام الحارق (مسرحية) عن الكاتب - أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية - 3G (فيلم هندي) نبذة عن الفيلم - عدوى الجهاز التنفسي العلوي أعراض تلوثات المجاري التنفسية العليا - ماء التونيك معلومات تاريخية - تجربة ( تعيين المحتوى المائى للتربة الهدف من التجربة - الانبعاث التلقائي - هاتف وعنوان مطعم مشوار - بيشه, عسير - حلقات نيوتن - منظور لوني المنظور اللوني من حيث شدة اللون - سليق (طعام) المعلومات الغذائية - مدرسة الباسل للمتفوقين (حلب) - دالة بيسل تطبيقات دالة بيسل - دراسة جدوى لمشروع تجارة الكافيار - تجربة فرانك-هرتز التجربة - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع تصنيع الجلاش الآلي - هاتف وعنوان مستوصف الكرامة الأهلي - النسيم, مدينة الرياض - أزرق البروموثيمول الخواص - طريقة عمل فستقيه بالشابوره لا تفوتك - طريقة عمل ومقادير الدولمه العراقيه من مطبخ منال العالم - هاتف وعنوان مستوصف البترجي - العلا, المدينة المنورة - كاسرات شمس الواجهة الغربية - هاتف و عنوان مستشفى طبرجل العام و معلومات عنها بالجوف بالسعودية - هاتف وعنوان مستوصف الأنفال - شقراء, محافظات الرياض - هاتف وعنوان مستوصف التويم الطبي - السليمانيه, جدة - مجهر فلوري آلية العمل - طريقة تحضير خبز الكومير اي الباكيط بالصور - ايهما افضل تربية الدجاج في البطاريات ام على الارض مقارنة هامة - هواتف مؤسسة الجلال التجارية المحدودة ومعلومات عنها بالسعودية - تحليل الأعمال تحليل الأعمال-التخصصات الفرعية - طريقة تحضير وصفة كوكيز ساده بالذ طعم خطوة بخطوة - هاتف وعنوان مستشفى غسان نجيب فرعون - السلامه, جدة - هاتف وعنوان محلات العنزي للإنارة والأدوات الكهربائية - حي النسيم, مدينة الرياض - دارمندرا ديول حياته - دينامومتر - هاتف وعنوان مستشفى عبيد التخصصي - الملز, مدينة الرياض - محول رقمي تناظري بنية المبدلات الرقمية – التماثلية DAC - كونياك نسبة الكحول - دراسة جدوى مفصلة لمشروع مشروع ورشة لإنتاج الزجاج الزخرفي - هاتف وعنوان مفروشات الكريستال - عنيزه, القصيم - عماد هاشم الاندية التي مثلها - زخرفة قاشانية لمحة تاريخية - هاتف وعنوان المفروشات السعودية - ابو عريش, جازان - اسباب وعلاج التهاب المفاصل الفيروسي عند الدجاج - مقصورة ابن دريد - الاستعلام عن صلاحية دفتر المركبة بالكويت - مستخدم (حوسبة) المستخدم النهائي - قانون هنري صيغة القانون وثوابته - جمع (لغة) في اللغة العربية - طيور مغردة الوصف - شخصيات مسلسل زمن البرغوت شخصيات المسلسل - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج تساقط الشعر و قشرة الرأس Dandruff بالاعشاب - عبير عيسى حياتها الأسرية - بيت ريما (فلسطين) موقعها وحدودها - امحاميد الغزلان الجغرافيا - عمارة إنتفاخية أصل التسمية - زويا صقر حياتها - نبيه صالح قصة النبيه صالح - الكف (فيلم) قصة الفيلم - الشروط المطلوب استيفائها للحصول على ترخيص نقل البضائع والمهمات بأجر بالسعودية شروط ترخيص نقل البضائع - نقحرة النسخ إلى العربية - مطيافية الأشعة تحت الحمراء النظرية - [بحث] الفاشوش و الفاشوشية - ملخصات وتقارير - مستشعر الحساسات الضوئية - مفكرة الموت ملخص القصة - عدد السعرات الحرارية في سمك الزبيدي والطاقة والقيمة الغذائية - هاتف وعنوان مكتب الدليجان للإستقدام - الخبر, مدينة الخبر - سلامة التعامل مع السلاح احتياطات الامان العامة للرماية - هاتف وعنوان مستشفى العميس الأهلي - صبيا, جازان - هاتف وعنوان مطعم بابا سومى -حفر الباطن, الجبيل - مجمع التجاري في زاخو - الرتب الشرطية في الإمارات - هاتف وعنوان مؤسسة اياز التجارية - الطائف المركزي, الطائف - ماروكو الصغيرة الانتاجات التلفزيونية - لواء الوسطية - روكو سيفريدي مسيرته الفنية - بلان شوكي الموئل والانتشار - هاتف وعنوان مستوصف آل مترك - المزاحميه, محافظات الرياض - هواتف شركة ابراهيم محمد العبود للتنمية والتطوير ومعلومات عنها بالسعودية - بطنج أسماؤه واستعمالاته - ماجي فتاة الشوارع - [بحث جاهز للطباعة] منهج علمي - - ثيوفين الخصائص - الغربال 2 (مسلسل) نجوم المسلسل - الليل وآخره (مسلسل) قصـة المسلسل - الكاذبات الصغيرات الجميلات (مسلسل) قصة - قعاص الغنم - ألوي اربورسنس - طيثارة سبخية أنظر أيضاً - هاتف وعنوان مستوصف النجاح - النماص, عسير - هاتف وعنوان العيادات الاستشارية - العليا, مدينة الرياض - هواتف وأرقام مستوصف البدري الطبي وعنوانه - مستذئبو تيارسوليو وصف - مؤسسة الدروع الواقية للحراسة الأمنية بالخفجي - قائمة مجلدات المحقق كونان فصول المانغا - طريقة تحضير شوربة الحلبه والحبه الحمراء (الحريروه) بالصور - هواتف مستشفى الملك فهد و معلومات عنها فى بجــــــازان بالسعودية - العجيلات تاريخ - جيمز بلاك (المحقق كونان) الحلقات التي ظهر فيها جيمس بلاك - هاتف وعنوان محل البيهق للغاز - عنيزه, القصيم - عدد السعرات الحرارية في ريش اللحم بدون دهن والطاقة والقيمة الغذائية - بايرازين التركيب - فحص سريري خطوات الفحص السريري - دراسة جدوى لمشروع صناعة خراطيم الري بالتنقيط من المطاط المعاد تدويره - ليمونيت استخدامات الليمونيت - اسباب الفتق (الفتاق) عند الاطفال حديثى الولادة - صفوان بن عدنان الداودي ميلاده ونشأته - برج الكيفان حي موحوس - للاستعلام عن رقم هاتف بالكويت عن طريق الانترنت - أيون مزدوج - نسق المستندات المنقولة البرامج - غانم اللميع - وكالة سفر تعريف وكالة السفر - جامعة آزاد الإسلامية فرع دماوند الأقسام - قذف (رمي بالزنا) تعريف - ثورة ضد الإله (كتاب) - هاتف مركز الشقيـق الصحى بالاحساء و معلومات عنه بالسعودية - أصدقاء الشجرة السعداء القصة - هاتف وعنوان مكتب الخالدي للإستقدام - الخبر, مدينة الخبر - طريقة عمل بقصم اللبن بالسمسم لا تفوتك - [بحث جاهز للطباعة] احدث بحث طبي عن صناعة الانسولين - - طريقة رونج-كوتا - عزلة النجيشة (لحج) مراجع وروابط خارجية - عبقات الأنوار في إمامة الأئمة الأطهار مضمون الكتاب - الدوري السعودي الممتاز 2006-07 الملاعب والمواقع - هابلوغروب (متقدرة) نشوء السلالات - فرناندو كولنج حياته الشّخصية - عقد 1900 أحداث - سبارتاكوس (مسلسل) القصة - مولان (فيلم 1998) أسماء مؤدو اصوات الشخصيات - معن عبد الحق عن حياته - كلية العلوم التربوية والاداب (الأونروا) التخصصات - نسبة بواسون سبب تأثير بواسون - دراسة جدوى مفصلة لمشروع تصنيع المكرونة - طريقة عمل كيكة البوبر اليقطين - القرع العسلي لا تفوتك - مخطط الحديد والكربون مخطط أطوار الحديد والكربون - هاتف وعنوان مستوصف المشافي - الهفوف, الاحساء - عبد العزيز بن محمد بن عبد الله - طريقة عمل ومقادير المشاط الفلسطيني او عجة البيض والزهرة من مطبخ منال العالم - هاتف وعنوان مستوصف السلمان - حفر الباطن, الجبيل - هواتف شركة سعد سحمي الهاجري وشريكه للمقاولات ومعلومات عنها بالسعودية - سبب ظهور مسمار اللحم في القدمين وكيف يتم علاجه ؟ - اختصارات مستخدمة في الوصفات الطبية - الاستكمال الرياضي بفروق نيوتن طرق الاستكمال - عناوين و هواتف وارقام جمعية الزهراء - دليل الجمعيات التعاونية بالكويت - قصص التهريج - طريقة تحضير سلطة الوليمه (لذيذه) خطوة بخطوة - هاتف وعنوان مطعم المضياف - البلد, المدينة المنورة - نانسي معماري حياتها - أحمد بك الحسيني مؤلفاته -
اليوم: الجمعة 10 يوليو 2020 , الساعة: 3:16 م


اعلانات

محرك البحث


زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح

آخر تحديث منذ 15 ساعة و 42 دقيقة 634 مشاهدة

اعلانات
عزيزي زائر الموقع تم إعداد وإختيار هذا الموضوع زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 09/07/2020

تعريف وتوضيح



المثال الأول الأعداد الصحيحة



من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة عدد صحيح الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية



..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- ,  ... Harvard citations last لانغ year 2005 loc الملحق 2، ص 360 nb yes إلى جانب عملية الجمع .



الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات التجريدية للزمر.



  1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددًا غير صحيح. تعرف هذه الخاصية باسم انغلاق (رياضيات) الانغلاق بالنسبة للجمع.

  2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم عملية تجميعية التجميعية .

  3. إذا كان a عددًا صحيحًا، فإن a + 0 0 + a a. ال 0 (عدد) صفر يسمى عنصر محايد (رياضيات) عنصرا محايدا .

  4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b b + a 0. العدد الصحيح b يسمى عنصر معاكس العنصر المعاكس للعدد a ويُكتب a-.



وتشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.


تعريف


quote box



33

quote بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعرف زمرة الوحش بزمرة الوحش البسيطة ، وهو كائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح أن وجودها يعتمد على العديد من المصادفات الغريبة. لا تعطي بديهيات الزمر أي إشارة واضحة لوجود مثل هذه الأشياء.

source Harvard citations txt yes authorlink ريتشارد بروشردس first ريتشارد last بورشردس year loc مذكور في كتاب < >Group theory جيمس ميلن (رياضياتي) لجيمس ميلن ، http //www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html



الزمرة هي مجموعة G! مزودة عملية ثنائية بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز ullet وتسمى قانون الزمرة لـ G! أو عملية الزمرة، تربط كل عنصر (رياضيات) عنصرين اثنين a و b من عناصرها بعنصر ثالث c ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها c a ullet b أو c ab، وفي زمرة أبيلية الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب c a + b، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل c a circ b أو c a * b. وكل من المجموعة والعملية (G, ullet) يحققان بديهية البديهيات التالية Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2.1، ص 27 nb yes Harvard citations last رامون year loc ص 5 nb yes

انغلاق (رياضيات) الانغلاق



لكل عنصرين a و b من عناصر G! يكون ناتج العملية a ullet b منتميًا أيضًا إلى G!. cref 3



التجميعية



لكل ثلاثة عناصر a و b و c من G! يكون (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)، أي أن ناتج تركيب العناصر الثلاثة لا يتأثر بتغير موضع الأقواس، cref 4 مما يسمح بكتابة الناتج في صورة a ullet b ullet c بدون أقواس.



وجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد



يوجد عنصر e in G! يحقق المعادلة e ullet a a ullet e a لكل a in g، ويسمى هذا العنصر العنصر المحايد. وهو عنصر وحيد؛ فلا يوجد أكثر من عنصر محايد واحد في الزمرة. cref 5



وجود عنصر معاكس العنصر المعاكس



لكل عنصر a من عناصر G! يوجد عنصر b من G! بحيث a ullet b b ullet a e حيث e هو العنصر المحايد، أي أن تركيب هذين العنصرين بأي ترتيب يساوي العنصر المحايد e. يُسمي العنصر b العنصر المعاكس للعنصر a ورمزه a^ -1 . ومن الواضح أن العنصر المحايد واحد فقط في الزمرة، وأن العنصر المعاكس للعنصر a محدد بوضوح.



هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر a مع العنصر b ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر b مع العنصر a، فهذه المعادلة

a ullet b b ullet a


قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن a + b b + a لأي عددين صحيحين ( عملية تبديلية إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة a ullet b b ullet a زمرة أبيلية الزمر الأبيلية (تخليدًا ل نيلس هنريك أبيل نيلس أبيل ). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية.

كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد 1 أو 1_G!، MathWorld Identity El ent urlname IdentityEl ent وهذا الرمز مأخوذ من 1 (عدد) المحايد الضربي . كما قد يُكتب العنصر المحايد 0 خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـ+، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية . وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا id.



المثال الثاني زمرة التماثل



تطابق (هندسة) يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من دوران (هندسة) الدورانات و انعكاس (رياضيات) الانعكاسات و انزلاق (هندسة) الانزلاقات . يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية تناظر التماثلات . للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور


1 text- 0 auto.5 auto


-

group D8 id.svg 140
id(بترك كل عنصر على حاله) group D8 90.svg 140
r1 (بالدوران 90° يمينًا) group D8 180.svg 140
r2 (بالدوران 180° يمينًا) group D8 270.svg 140
r3 (بالدوران 270° يمينًا)
-

group D8 fv.svg 140
fv (بالانعكاس عموديًّا) group D8 fh.svg 140
fh (بالانعكاس أفقيًّا) group D8 f13.svg 140
fd (بالانعكاس القطري) group D8 f24.svg 140
fc (بالانعكاس القطري المعاكس)
-

text- right 4 عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.




  • دالة محايدة العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.

  • دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° يمينًا و 180° يمينًا و 270° يمينًا ينتج عنه الأشكال r1 و r2 و r3 على الترتيب.

  • الانعكاس عبر المحورين العمودي والأفقي يعطي الشكلين fh و fv، والانعكاس عبر القطرين يعطي fd و fc.



تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r1 ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل fh فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. تشكل هذه التماثلات زمرة تسمى زمرة زوجية الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D4، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال . Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2.6، ص 54 nb yes يمكن تركيب اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي

b ullet a (الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).

يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r3) ثم قلب الناتج أفقيًّا (fh) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (fd). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن

f_h ullet r_3 f_d

1 float text- .5 0 .5 1 40ex height 40ex


+ جدول كايلي جدول زمرة D4
-

! 12 FDD -top black 2 -right black 2 •

! FDD -top black 2 11 id

! FDD -top black 2 11 r1
! FDD -top black 2 11 r2
! FDD - black 2 -top black 2 11 r3
! 11 fv !! 11 fh !! 11 fd !! 11 fc
-

! FDD -right black 2 id

FDD id

FDD r1
FDD r2
FDD - black 2 r3 fv fh fd
FFFC93 - black 2 -right black 2 -top black 2 fc
-

! FDD -right black 2 r1
FDD r1
FDD r2
FDD r3
FDD - black 2 id fc fd fv
FFFC93 - black 2 -right black 2 fh
- height 10

! FDD -right black 2 r2
FDD r2
FDD r3
FDD id

FDD - black 2 r1 fh fv fc
FFFC93 - black 2 -right black 2 fd
- height 10

! FDD -bottom black 2 -right black 2 r3
FDD -bottom black 2 r3
FDD -bottom black 2 id

FDD -bottom black 2 r1
FDD - black 2 -bottom black 2 r2 fd fc
fh
FFFC93 - black 2 -right black 2 -bottom black 2 fv
- height 10

! fv
fv fd fh fc id r2 r1 r3
- height 10

! fh
fh fc fv DDF black 2 fd r2 id r3 r1
- height 10

! fd
fd fh fc fv r3 r1 id r2
- height 10

! fc
9DFF93 -right black 2 -bottom black 2 -top black 2 fc
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 fv
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 fd
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 - black 2 fh r1 r3 r2 id
-

9 text- right تشكل العناصر id و r1 و r2 و r3 زمرة جزئية ، تلك المحددة باللون الأحمر في أعلى اليمين. مجموعة مشاركة المجموعتان المشاركتان اليمنى واليسرى لتلك الزمرة الجزئية محددتان باللونين الأخضر (في الصف الأخير) والأصفر (في العمود الأخير) بالترتيب.


يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D4 المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث a, b, c in D!_4 كالتالي

  1. تحقيق بديهية الانغلاق يتطلب أن يكُون b ullet a in D!_4 أي أن يكون تماثلًا أيضًا. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار

    r_3 ullet f_h f_c


    أي أن الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس القطري العكسي. والمغزى أن أي تركيب لتماثلين يكون تماثلًا آخر من نفس الدرجة، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار.

  2. تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a و b و c على الترتيب لتكوين تماثل لمربع الأولى هي أن يركَّب العنصران a و b في تماثل واحد أولًا، ثم أن يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي أن يركَّب أولًا b و c، ثم أن يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعية يكون

    (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)


    وهذا يعني أن ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج تركيب العديد من العناصر في الزمرة بجعلها في شكل تجميعات. فمثلًا (f_d ullet f_v) ullet r_2 f_d ullet (f_v ullet r_2)، ويمكن التأكد من هذا باستخدام الجدول في اليسار، فيلاحَظ أن

    (f_d ullet f_v) ullet r_2 r_3 ullet r_2 r_1، وهذا يساوي

    f_d ullet (f_v ullet r_2) f_d ullet f_h r_1.


    ومع أن شرط التجميعية صحيح في حالتي تركيب تماثلات المربع وجمع الأعداد، فهو ليس صحيحًا لكل العمليات؛ فطرح الأعداد مثلُا ليس عملية تجميعية، فمثلًا (7 − 3) − 2 2، وهذا لا يساوي 7 − (3 − 2) 6.

  3. العنصر المحايد في الزمرة المعطاة أعلاه هو التماثل id لتركه نقاط الشكل دون تغيير تأدية id بعد a (أو a بعد id) يساوي التماثل a، وبتعبير رمزي

    id ullet a a ullet id a.


  4. بالنسبة للزمرة المعطاة يقوم العنصر المعاكس بإبطال تحويلات بعض العناصر الأخرى. كل تماثل في الزمرة المعطاة يمكن إبطاله؛ فكل من التماثل المحايد id والانعكاسات fh و fv و fd و fc والدوران بزاوية 180° (r2)—كل منهم معكوس لذاته، لأن تأدية أحدهم مرتين يُعيد المربع إلى أصله قبل تأديته. بالإضافة إلى أن كلا الدورانين r3 و r1 معكوس للآخر، لأن الدوران 90° ثم إتباعه بدوران 270° (أو العكس بالعكس) يعطي دورانًا بزاوية 360°وينتهي بعدم حدوث تغير في المربع. وبالتعبير الرمزي

    f_h ullet f_h r_3 ullet r_1 r_1 ullet r_3 id.



وعلى عكس زمرة الأعداد الصحيحة التي ذُكر عنها في الأعلى أن ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D4، فمثلًا f_h ullet r_1 f_c لكن r_1 ullet f_h f_d. ولذلك فإن الزمرة D4 غير أبيلية.

التاريخ


مقال تفصيلي تاريخ نظرية الزمر


تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقًا من مجموعة من مجالات الرياضيات؛ Harvard citations nb yes last وسنغ year Harvard citations last كلينر year 1986 nb yes Harvard citations last سميث year 1906 nb yes فقد كان أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة متعددة الحدود المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا في القرن التاسع عشر أعمال كل من باولو روفيني و جوزيف لاغرانج ، ليعطي معيارًا لقابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظر إلى زمرة التماثل المكونة من جذر دالة جذور هاته الحدودية. تتطابق عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا ، مع تبديل (رياضيات) تباديل ما للجذور. رفض معاصرو غالوا أفكاره في بادئ الأمر، ولم تنشر إلا بعد وفاته. Harvard citations last غالوا year 1908 nb yes Harvard citations last كلينر year 1986 loc ص 202 nb yes درس أوغستين لوي كوشي لاحقًا زمرة تبديلات زمر التبديلات الأكثر تعميمًا بشكل تخصصي. عرَّف أرثور كايلي زمرة منتهية الزمر المنتهية تجريديًّا لأول مرة في كتابه < >حول نظرية الزمر، اعتمادًا على المعادلة الرمزية خ¸n 1 (المنشور عام 1854 ). Harvard citations last كيلي year 1889 nb yes



كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمرة التماثل زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. Harvard citations last وسنغ year loc القسم الثالث.2 nb yes مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة هندسة زائدية كالهندسة الزائدية و هندسة إسقاطية الهندسة الإسقاطية ، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمرة لي زمر لي عام 1884. Harvard citations last لي year 1973 nb yes

أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر فهو نظرية الأعداد . استعمل كارل فريدريش غاوس بُنى بعض زمرة أبيلية الزمر الأبيلية ضمنيًّا في عمل حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان < > استفسارات حسابية (عام 1798 )، كما استعملها ليوبلد كرونكر بشكل أكثر وضوحًا. Harvard citations last كلينر year 1986 loc ص 204 nb yes في عام 1847 ، كان إرنشت كومر من بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة ، وذلك بتطوير زمرة الصنف المثالي زمر تصف تحليل عدد صحيح إلى عدد أولي أعداد أولية . Harvard citations last وسنغ year loc القسم الأول.3.4 nb yes



وضع كامي جوردان أول نظرية موحدة للزمر بالمفاضلة بين تلك المصادر المتعددة في عمله < >Traité des substitutions et des équations algébriques الصادر عام 1870 . Harvard citations last جوردان year 1870 nb yes أعطى فالتر فون ديك البيان الأول للتعريف الحديث للزمرة المجردة. Harvard citations last فون ديك year 1882 nb yes مع بداية قرن 20 القرن العشرين ، اكتسبت الزمر اهتمامًا كبيرًا من الرياضياتيين، فظهرت أعمال فرديناند جورج فروبنيوس و ويليام برنسايد الرائدة في نظرية التمثيل للزمر المنتهية، وكذلك أعمال ريتشارد براور في نظرية التمثيل النمطي ، وأوراق إيساي شور . Harvard citations last كورتيس year 2003 nb yes درس هيرمان فايل و إيلي كارتن وغيرهما الكثير نظرية زمر لي خاصةً و زمرة محلية التراص الزمر محلية التراص عامةً. Harvard citations last ماكي year 1976 nb yes صيغت نظرية زمرة جبرية الزمر الجبرية لأول مرة على يد كلود شيفالي في أواخر عقد 1930 ثلاثينيات القرن العشرين وعلى يد أرمان بورل و جاك تيتس لاحقًا. Harvard citations last بورل year 2001 nb yes



نظمت جامعة شيكاغو في 1960–61 عامًا خاصًّا لنظرية الزمر، وقد استقطب هذا الحدث علماء نظرية الزمر مثل دانيال غورنشتاين و جون تومسون و فالتر فايت ، وبمساهمة العديد من الرياضياتيين الآخرين تصنيف الزمر المنتهية البسيطة صُنفت كل الزمر المنتهية البسيطة عام 1982. تفوق هذا المشروع على نظائره السابقة بحجمه الهائل من ناحيتي طول البرهان وعدد الباحثين. ولا يزال البحث جاريًا لمحاولة تبسيط برهان التصنيف. Harvard citations last أشباخر year 2004 nb yes ولا تزال نظرية الزمر حتى هذه الأيام فرعًا رياضيًّا نشطًا للغاية ومؤثرًا في عدة مجالات أخرى. cref 1

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر


مقال تفصيلي نظرية الزمر الابتدائية


عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعرف بنظرية الزمر الابتدائية. Harvard citations last ليدرمان year 1953 loc القسم 1.2، ص 4–5 nb yes فمثلًا تُظهر التطبيقات استقراء رياضي المتكررة لبديهية التجميعية أن القاعدة

a ullet b ullet c (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)


تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة. Harvard citations nb yes last ليدرمان year 1973 loc القسم I.1، ص 3

يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر و العنصر المعاكس الأيسر المعاكس الأيسر ؛ إذ يمكن لكليهما أن يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي. Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 7

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المعاكسة



إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما أن تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا مقابلًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع معرفة (نحو) تعريفهما بقول < >المحايد و< >المعاكس. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.1، ص 17



لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر a، لنفترض أن للعنصر a عنصران معاكسان b و c في الزمرة (G!, ullet)، حيث




b b ullet e         حيث e هو العنصر المحايد
-

b ullet (a ullet c)         لأن c هو العنصر المعاكس للعنصر a، وبالتالي e a ullet c
-

(b ullet a) ullet c         لأن خاصية التجميعية تقضي بحرية ترتيب الأقواس
-

e ullet c         لأن b هو معاكس a، أي أن b ullet a e
-

c         حيث e هو العنصر المحايد


وبالتالي فإن كلا العنصرين b و c متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر a معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض أن G! زمرة بها عنصران محايدان e و f، حيث e e ullet f f، وبالتالي فإن e و f متساويان.

القسمة



من الممكن القيام بعملية قسمة القسمة في الزمر ليكن a و b عنصرين من الزمرة G!، إذن هناك حل وحيد x معادلة رياضية للمعادلة x ullet a b. وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر a^ -1 من الجهة اليمنى يعطي الحل x x ullet a ullet a^ -1 b ullet a^ -1 . ويوجد بالمثل حل وحيد y في G! للمعادلة a ullet y b، وهو y a^ -1 ullet b. وليس من الضروري عامةً لكل من x و y أن يتفقا.

إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر g من زمرة ما هو دالة تقابلية . وعلى وجه التحديد، إذا كان g عنصرًا من الزمرة G! فإنه يوجد دالة تقابلية على G! تدعى < >الانزلاق الأيسر بـ g، وهو يرسل h in G! إلى g ullet h. وبالمثل يوجد دالة تقابلية على G! تدعى < >الانزلاق الأيمن بـ g، وهو يرسل h إلى h ullet g. وإذا كانت G! أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.



المفاهيم الأساسية


تُستخدم قائمة الرموز الرياضية رموز رياضية في هذا القسم مثل X! x, y, z للرمز إلى مجموعة (رياضيات) مجموعة X تحتوي عنصر (رياضيات) العناصر x و y و z، أو يُستخدم بدلًا من ذلك x in X! لتوضيح أن x عنصر من X. ويشير الترميز fcolon X
ightarrow Y إلى أن f هي دالة (رياضيات) دالة تربط بكل عنصر من X! عنصرًا من Y.

معلومات أكثر لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر

لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. cref 6 يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في مجموعة (رياضيات) المجموعات )، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عملية (رياضيات) عمليتها . يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف ب زمرة جزئية الزمر الجزئية و زمرة خارج القسمة زمر خارج القسمة . إن مبدأ الحفاظ على البنى هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة (رياضيات) فئة ، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر .

تشاكلات الزمر


مفصلة تشاكل الزمر

تشاكلات الزمر cref 7 هي دوال تحفظ بنية الزمرة. وتُسمى الدالة acolon G!
ightarrow H! بين الزمرتين (G!, ullet) و (H, *) تشاكلًا إذا تحققت المعادلة 1 a(g ullet k) a(g) * a(k) لكل عنصرين g و k في G!. وبعبارة أخرى، لا يتغير الناتج عند القيام بعملية الزمرة قبل أو بعد تطبيق (رياضيات) التطبيق a. وينتج عن هذا الشرط أن a(1_ G! ) 1_ H! ، وأن a(g)^ -1 a(g^ -1 ) لكل g في G!. وبالتالي فإن تشاكل الزمرة يُعنى ببنية G! كاملةً والتي تتمثل في بديهيات الزمر. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.3، ص 34

تُوصف الزمرتان G! و H! بأنهما تساوي الشكل متساويتا الشكل إذا كان كلا التطبيقين acolon G!
ightarrow H! و bcolon H!
ightarrow G! تشاكلًا، أي أن تطبيق كلتا الدالتين تركيب الدوال الواحدة تلو الأخرى في كلا الترتيبين الممكنين يُعطي دالة محايدة الدالتين المحايدتين في G! و H!. أي أن a(b(h)) h و b(a(g)) g لأي g في G! و h في H!.

من وجهة نظر تجريدية، تحمل الزمر المتشابهة شكليًّا نفس المعلومات، فمثلًا يكون إثبات أن g ullet g 1_ G! لعنصر ما g من G! يُكافئ إثبات أن a(g) * a(g) 1_ H! ؛ لأن تطبيق الدالة a على المتساوية الأولى يعطي الثانية، وتطبيق الدالة b على الثانية يُعيدها إلى الأولى.

الزمر الجزئية


مفصلة زمرة جزئية

إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة H! موجودة في زمرة أكبر G!. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.1، ص 19 ويكون العنصر المحايد للزمرة G! موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة H!، وعندما يكون h_1 و h_2 في H!، يكون h_1 ullet h_2 و h_1^ -1 أيضًا في H!، وبذلك تشكل عناصر H! مزودةً بعملية الزمرة G! المقصورة على H! زمرةً جزئية.

في مثال الزمرة D!_4 المذكور أعلاه، يشكل المحايد والدورانات زمرة جزئية R! id, r_1, r_2, r_3 ، وهي مظللة باللون الأحمر في الجدول أعلاه؛ حيث أن أي دورانين مركبين يشكلان دورانًا أيضًا، وكل دوران يمكن إبطاله بدوران آخر (أي العنصر المعاكس) هو الدوران الذي يشكل مع الدوران الأصلي دورة كاملة 270° مع 90°، و 180° مع 180°، و 90° مع 270° (لاحظ أن الدوران في الاتجاه المعاكس غير معرف). إن اختبار الزمرة الجزئية شرط ضروري وكاف للمجموعة الجزئية H! من الزمرة G! لتكون زمرة؛ حيث يكفي التأكد من أن g^ -1 h in H! لكل g, h in H!. كما أن معرفة شبكية الزمر الجزئية الزمر الجزئية مهم في فهم الزمرة كليةً. cref 8

بإعطاء أي مجموعة جزئية S! من زمرة G!، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها S! من نواتج إخضاع عناصر S! لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من G! تضم S!. Harvard citations nb yes last ليدرمان year 1973 loc القسم II.12، ص 39 وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ r_2 و f_v من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر f_h f_v ullet r_2. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن تركيب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أو معكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.

المجموعات المشاركة


مفصلة مجموعة مشاركة

من المستحسن في العديد من الحالات أن يُعَد عنصران في الزمرة نفسيهما إن اختلفا بعنصر من زمرة جزئية معطاة. فمثلًا في مثال الزمرة D!_4 المعطى أعلاه، بمجرد تأدية انعكاس ما، لا يعود المربع إلى وضع r_2 بالقيام بعمليات الدوران، أي أن عمليات الدوران ليست ذات صلة بسؤال ما إذا كان قد أُجري انعكاس. تستخدم المجموعات المشاركة لتناول هذه الرؤية تناولًا رسميًّا تحدد المجموعة الجزئية H! مجموعة مشاركة يمنى وأخرى يسرى، والتي يمكن وصفهما انزلاقين لـH! بأي عنصر من عناصرها g. ويعبَّر عن المجموعتين المشاركتين اليسرى واليمنى لـ H! التي تحتوي العنصر g كالتالي

gH! g ullet hcolon h in H! و H!g h ullet gcolon h in H! بالترتيب. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.4، ص 41


تشكل المجموعات المشاركة لأي زمرة جزئية H! تجزئة مجموعة تجزئة لـ G!، بمعنى أن اتحاد (نظرية المجموعات) اتحاد كل المجموعات المشاركة اليسرى يساوي G!، وتكون كل مجموعتين يسريين إما متساويتين أو غير تقاطع (نظرية المجموعات) متقاطعتين . Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 12 تحدث الحالة الأولى g_1H! g_2H! إذا وفقط إذا كان g_1^ -1 ullet g_2 in H!، أي إذا اختلف العنصران بعنصر من H!، وما قيل في المجموعات المشاركة اليسرى ينطبق على المجموعات المشاركة اليمنى لـ H!. ومن الممكن أن تتساوى المجموعتان المشاركتان اليسرى واليمنى ومن الممكن أن لا تتساويا، فإذا تساويتا (أي إذا كان gH! H!g لكل g in H!)، تسمى H! حينها زمرة جزئية طبيعية .

في الزمرة D!_4 المقدمة مثالًا لزمرة التماثل، المجموعات المشاركة اليسرى gR! للزمرة الجزئية R! المكونة من الدورانات إما أن تساوي R! إذا كان g عنصرًا من R! نفسها، أو أن تساوي U! f_cR! f_c, f_v, f_d, f_h (المظللة باللون الأخضر). كما أن R! زمرة جزئية طبيعية، لأن f_cR! U! R!f_c والأمر ينطبق على أي عنصر غير f_c.

زمرة خارج القسمة


مفصلة زمرة خارج القسمة

في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعرف بزمرة خارج القسمة. ويجب أن تكون هذه الزمرة الجزئية زمرة جزئية طبيعية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية N!، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي

G! / N! gN!colon g in G! (G!,operatorname modulo ,N!) Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.4، ص 45


تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أو جمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية G!. (gN!)(hN!) (gh)N! لكل g و h في G!. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي أن التطبيق G!
ightarrow G! / N! الذي يربط إلى كل عنصر g مجموعته المشاركة gN! يكون تشاكلًا، أو بالتعبير المجرد العام يسمى الخاصية الشاملة الخصائص الشاملة . والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة eN! N!، ومعاكس gN! في زمرة خارج القسمة هو (gN!)^ -1 (g^ -1 )N!. cref 9

1 float text- .5 0 .5 1


-

! 30 •

! 33 R

! 33 U

-

! < >R


< >R < >U


-

! < >U


< >U < >R


-

3 text- right جدول الزمرة لزمرة خارج القسمة D!_4 / R!.


عناصر زمرة خارج القسمة D!_4 / R! هي R! نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها U! f_vR!. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا U! ullet U! f_vR! ullet f_vR! (f_v ullet f_v)R! R!. إن كلًّا من الزمرة الجزئية R! id, r_1, r_2, r_3 بالإضافة إلى خارج القسمة المقابل أبيليان، وهذا رغم أن D!_4 ليست أبيلية. إن بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة D!_4 من الزمرة الجزئية R! وخارج القسمة D!_4 / R! يجرَّد بمفهوم يسمى جداء شبه مباشر الجداء شبه المباشر .

تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تبديل (رياضيات) تباديلها أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مجموعة مولدة لزمرة مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية D! بعنصرين r و f (وعلى سبيل المثال r r_1 أي الدوران بزاوية قائمة، و f f_v أي الانعكاس العمودي (أو أي انعكاس آخر))، ما يعني أن كل تماثل للمربع هو تركيب منتهٍ من هذين التماثلين أو معكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات

r^4 f^2 (r ullet f)^2 1، Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 9


تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استخدام توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي ، وهو وسيلة تستخدم لتمثيل زمرة متقطعة الزمر المتقطعة .


ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحو التالي يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية H! من G! على أنها تطبيق دالة تباينية تبايني H!
ightarrow G!، أي أن أي عنصر من المجال المقابل يرتبط صورة عكسية بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعرف بالتطبيقات دالة شمولية الشمولية ، وهو تطبيق ترتبط فيه كل عناصر المجال المقابل بعنصر أو أكثر من المجال، مثل التطبيق G!
ightarrow G! / N!. cref 10 إن تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة كل من نواة (جبر) نواة و صورة (رياضيات) صورة تشاكلات الزمرة و مبرهنة تساوي الشكل الأولى .

أمثلة وتطبيقات


مقال تفصيلي أمثلة الزمر تطبيقات نظرية الزمر

صورة متعددة

رصف

اتجاه vertical

عرض 180

صورة1 Wallpaper group-cm-6

عرض1 150

تعليق1 ثمة نمط دوري في ورق الحائط ينبثق عنه زمرة ورق الحائط .

صورة2 Fundamental group.svg

عرض2 180

تعليق2 تتكون الزمرة الأساسية لمستوًى ما ناقص نقطة (غليظة) من الحلقات حول تلك النقطة. وتلك الزمرة الأساسية هي تساوي الشكل مساوية الشكل الأعداد الصحيحة للأعداد الصحيحة .



تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة mathbb Z! للأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرةً ضربية . وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد .

تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية مدلل (رياضيات) بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله زمرة أساسية الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. Harvard citations nb yes last هاتشر year 2002 loc الفصل الأول، ص 30 وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من قائمة المواضيع المتعلقة بالطوبولوجيا الخصائص الطوبولوجية مثل جوار (رياضيات) القرب و دالة مستمرة الاستمرارية إلى خصائص للزمر. cref 11 فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن أن مثلية التوضع تتقلص باستمرار إلى نقطة. إن وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتقالية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محو نقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتقالية أو أي حلقة أخرى عدد اللفات تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.

في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحو دعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية. cref 12 وفي المقابل، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة زمرة زائدية الزمر الزائدية مثلًا. Harvard citations nb yes last1 كورنير last2 دلزان last3 بابادوبولوس year 1990 وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية و نظرية الأعداد .ومن أمثلة تلك الزمر زمرة الصنف المثالي زمرة الصنف و زمرة بيكارد زمر بيكارد . انظر Harvard citations nb yes last نويكيرش year 1999 ، وخاصة القسمين I.12 و I.13

يوجَد العديد من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم علم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والمعرفة الخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية ، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. Harvard citations nb yes last شيريش year 1997 ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ فعلوم مثل الفيزياء و كيمياء و علم الحاسوب تنتفع من أفكارها.

الأعداد


تتمتع العديد من النظم العددية كالأعداد الصحيحة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة حلقة (رياضيات) بالحلقات و حقل (رياضيات) الحقول . ويشكل المزيد من الفكر جبر مجرد الجبرية المجردة زمرًا، ومنها نموذج النماذج و فضاء متجهي الفضاءات المتجهية و جبر على حقل الجِبار .


الأعداد الصحيحة


لقد وُصفت سابقًا في المقالة زمرة الأعداد الصحيحة mathbb Z! تحت عملية الجمع ورمزها (mathbb Z! , +). ورغم ذلك لا تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تحت الضرب بدل الجمع (mathbb Z! , cdot)؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا a 2 هو عدد صحيح، لكن الحل الوحيد للمعادلة a cdot b 1 في تلك الحالة هو b frac 1 2 ، وهو كسري وليس صحيحًا. وبالتالي ليس كل عنصر من mathbb Z! يملك معاكسًا ضربيًّا. cref 13

الأعداد الكسرية


إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة كسر (رياضيات) الكسور


frac a b .


وتُعرف كسور الأعداد الصحيحة (حيث b
e 0) عدد كسري بالأعداد الكسرية . cref 14 ويُرمز للمجموعة التي تحتوي كل هذه الكسور بالرمز mathbb Q! . لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب (mathbb Q! , cdot) زمرة، وهي أن العدد الكسري 0 (عدد) 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد x in mathbb Q! يحقق المعادلة x cdot 0 1)، وبالتالي لا تزال (mathbb Q! , cdot) ليست زمرة.

ورغم ذلك، تشكل مجموعة كل الأعداد الكسرية غير الصفرية mathbb Q! ackslash 0 q in mathbb Q! q
e 0 زمرة أبيلية تحت الضرب، ورمزها هو (mathbb Q! , cdot). cref 15 تنتُج بديهيتا التجميعية والعنصر المحايد عن خصائص الأعداد الصحيحة. كما أن بديهية الانغلاق لم تزل محقَّقة بعد إزالة الصفر، لأن حاصل ضرب أي عددين كسريين غير صفريين لا يساوي أبدًا الصفر. وأخيرًا، العدد الكسري frac a b له معكوس هو frac b a ، وبالتالي تتحقق بديهية الانغلاق في تلك البنية.

تشكل الأعداد الكسرية (متضمنة الصفر) زمرة أيضًا تحت عملية الجمع. وتتضافر عمليتا الجمع والضرب مسفرةً عن بنًى أعقد تُسمى الحلقات، كما تسفر عن ما يُسمى الحقول إذا كانت القسمة ممكنة كما في حالة mathbb Q! ، ولكلا البنيتين موقع محوري في الجبر المجرد . ولذلك فإن حجج نظرية الزمر تكمن وراء أجزاء من نظرية كلا الكيانين. cref 16

الحساب النمطي


Clock group.svg تشكل الساعات في الساعة الميكانيكية زمرة تستخدم حساب نمطي مقياس جمع قيمته 12. وهنا يكون 9 + 4 1.

في الحساب النمطي ، يُجمَع عددان صحيحان ثم يُقسَم الناتج على عدد صحيح موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هو باق (رياضيات) باقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية n، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة من الصفر حتى n - 1 زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيث يكون معاكس أي عنصر a هو n - a، والعنصر المحايد هنا هو الصفر. ومن المألوف من جمع ساعة (وحدة) الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات على 9 ثم تقدم 4 ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هو موضح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول أن 9 + 4 يساوي 1 < >مقياس 12 أو < >بتردد 12، أو بالرموز



9 + 4 equiv 1 operatorname modulo ,12.


ويُرمَز لزمرة الأعداد الصحيحة مقياس n بأحد الرمزين mathbb Z! _n أو mathbb Z! /nZ!.

توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس n زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس color Blue p لأي عدد أولي p. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc الفصل السابع وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد الصحيحة من 1 إلى p - 1. وعمليتها هي الضرب مقياس p، أي أن حاصل الضرب العادي يُقسَم على p، ويكون باقي تلك القسمة هو ناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذ ميز مجموعة (رياضيات)

Rubik's cube.svg الأشكال التي يأخذها مكعب روبيك تكون زمرة.


مفهوم رياضي زمرة أو مجموعة Group غير معرف G(S, *), إيفاريست جالوا نظرية الزمر
في الرياضيات ، الزمرة إنك Group هي بنية جبرية حقيقة تصف وتُجسد مفهوم التناظر ، تتكون من مجموعة من عنصر (رياضيات) العناصر مزودة عملية ثنائية بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى بديهية البدبهيات وهي انغلاق (رياضيات) الانغلاق و عملية تجميعية التجميعية ووجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في جبر مجرد الجبر المجرد . يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2، ص 26 nb yes Harvard citations last هول year 1967 loc قسم 1.1، ص 1 nb yes The idea of a group is one which pervades the whole of math atics both pure and applied. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية جمع (رياضيات) الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب ، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة مصفوفة (رياضيات) المصفوفات التي لا تساوي محدد (مصفوفات) محدداتها الصفر و تماثل ذاتي التماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر .



ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر ، زمرة التماثل فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسة رياضية هندسيٍّ تتكون تلك الزمرة من مجموعة من تحويل (هندسة رياضية) التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمرة لي زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم تناظر جزيئي التناظر في الكيمياء الجزيئية ، وتعبر زمرة بوانكاريه زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة .


نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في عقد 1830 ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون كثير حدود معادلة جبرية كثيرة الحدود زمرة قابلة للحلحلة قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذر دالة جذور . بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد و الهندسة ، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870 . أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. cref 1 قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل زمرة جزئية الزمر الجزئية و زمرة خارج القسمة زمر خارج القسمة و زمرة بسيطة الزمر البسيطة . لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف نظرية تمثيل الزمر بتمثيلات الزمر ، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات نظرية الحقل الكمومي كالحقل الكمومي و نظرية الأوتار الأوتار ، وفي معلوماتية (حقل أكاديمي) المعلوماتية توجد زمر التشفير للتشفير و ترميز الترميز و معالجة الصور الرقمية معالجة الصور ، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية زمرة منتهية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983 . cref 2 أصبحت نظرية الزمر الهندسية ، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف عقد 1980 ثمانينيات القرن العشرين .
شاركنا رأيك

 
اعلانات
التعليقات

لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

أقسام الموقع المتنوعة أوجدت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 09/07/2020



الأكثر مشاهدة خلال 24 ساعة
الأكثر قراءة
الموضوعات الاكثر مناقشة
الاكثر مناقشه بالقرب مني
اعلانات
بحث علمي عن الطلاق نبات الداتورا موضوع البحث الخزاعي Types محمد حلمي العملات الورقية الياف تركيب نسجى أيتا تكامل خطي المستوصف الخليجي الطبي الواديين التنبؤ انواع الاعشاب لعلو S.O القراءات الشيحة قانون المرافعات المدنية والتجارية فيدياس فيدياس سيرته بيتى فور حلويات باتشي الصوت ما هو الصوت التسويق رومية لعبة العروش الغريفه المطاطي الشعثمي الانلين علم النفس الفسيولوجي فوائد الحناء الخرسانة ذاتية الدمك الصمت دونان جان هنري دونان تبوك جيوتقنية كاتشب الأجنات رفوف الطول والوزن اصلاح ثلاجات مسيرة الخضراء antibiotic نيايج احمد تي بحث عن التسويق أوديب ملكا Statistics دولمة كومانيا كشاف طريق مكة تدفق البيانات عدد القرى علم تشريح النبات طبخ بوشير بوجير طمبدي توفيق المنحنيات الالكان العزم المغناطيسي نظم المعلومات عيادة الاسنان فناير ازيهر مولى سهيل بن عمرو العصور الحجرية فرينش فرايز أبو جعفر النحاس نتيجة تحليل anemia الكربوهيدرات تخريج حديث السبعينيات الهادي كعبار الشركسي الدانه حسين محي الدين الحبال الكود شحرور محمد شحرور مقياس ليكرت فورت وليم استوديو التشغيل اليدوي تمر حنة تخطيط نظم المعلومات هيماتوكسيلين مايرون تقيس اعراضه مستشفى ميداني كوثرية السياد النباتات الحزازية حائل دراسة مقارنة