الجديد عبد الملك الحوثي حياته المبكرة - خصائص معلمة رياض الأطفال - الدوائر الكهربية رباعية الأقطاب العلاقة بين المتغيرات - لغة بلبالية - ماه فيروز حياتها - إكوسيا محرك البحث - كيف تكون رجل مبيعات ناجح للدكتور ابراهيم الفقي - خليفة خليفوه أعماله - لغة تركية التصنيف - فير زارا (فيلم هندي) القصة - محاسبة تكاليف تاريخ محاسبة التكاليف - اهم انواع مقصات الخياطة وكيفية استعمالها - زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح - خناتة بنونة من أعمالها الأدبية - الشركه المصريه لصناعة الورق - معايير محاسبة التكاليف معلومات تاريخية - نموذج ديباي اشتقاقه - نايتكيل القصة - أسلوب أسخيلوس (أبو المسرح اليوناني) - تكامل سطحي التكامل السطحي للمجالات القياسية - خريطة كارنوف شرح تطبيقي ومثال في كيفية استعمال الجدول - هاتف وعنوان بقالة النورس - ابها - هاتف ومعلومات عن مستوصف البترجي 2 بالمدينة المنورة - فول مدمس طريقه عمل الفول - هدية الزمن في أخبار ملوك لحج وعدن المحتوى - ليونارد بلومفيلد نشأته ودراسته - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج محاسبة جاهزة doc , مشاريع تخرج محاسبة بكالوريوس - - فاطمة الزهراء معطر حياتها الشخصية - فيزا عمل للسعودية ,, شروط واجراءات استخراجها - محاسبة إدارية مراحل تطور المحاسبة ونشأة المحاسبة الإدارية - مؤسسة صندوق الجلاء للقوات المسلحة (مصر) - مملكة باقرمي الموقع - قائمة بلديات هولندا الحالة البلدية - إيه تي آي تكنولوجيز تاريخ - قبيلة الصلبه نسب القبيلة وافخاد القبيلة - طريقة عمل السليق الطائفي مثل المطاعم - وصفات اكلات طبخات كويتية - خدمة استخراج الشهادات الصحية بالمملكة العربية السعودية - جعفر الفاسي - الأربعاء (ولاية البليدة) المعالم - طباعة الشاشة الحريرية تاريخها - هاتف وعنوان مستوصف الرعاية الطبية - عنيزه, القصيم - البحث عن فضيحة (فيلم) قصة الفيلم - مزايا وعيوب شركات المساهمة وهل تصلح للمشروعات الصغيرة - فورست غامب الحبكة - بلدية باش جراح - هارموني بناء الهارموني بالتآلفات - هاتف وعنوان مستشفى الجدعاني - الصفا, جدة - سلفة الأنواع - هواتف مستشفى العارضة و معلومات عنها فى بجــــــازان بالسعودية - هاتف وعنوان مؤسسة العثمان الزراعية - بريده, القصيم - المياه الجوفية في مصر مصادر المياه الجوفية في مصر - قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم - أدولف لوس أشهر اعماله - مخطط تدفق البيانات - تخطيط اجتماعي خصائص التخطيط - شظاظ الضبي الصعلكة - جودي ستارلينغ الحلقات التي ظهرت فيها - الريشة (بعدان) مراجع وروابط خارجية - التعليم في عصر محمد علي المدارس في عصر محمد علي - دليم الأصول - دوريت الصغيرة (رواية) النشر الأصلي - قائمة قصائد أحمد فضل القمندان حسب الترتيب الهجائي - عزلة سيحوت (المهرة) مراجع وروابط خارجية - كلام جرايد (فيلم) قصة الفيلم - هاتف وعنوان مستوصف البترجي - البلد, المدينة المنورة - فوائد اليانسون - قيء بلون القهوة - لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة - التقسيم الإداري الإيراني التقسيمات إيران الإدارية - ميسون السويدان السيرة الذاتية - قائمة المسلسلات التلفزيونية التونسية 1999-1990 - طريقة تحضير خبز الصاج او قرصان القصيم بالصور - مخاطر صاعق الحشرات الكهربائي - أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية - شرح تركيب مفتاح الضغط و مستوى المياه فى الغسالة وكيفية الاصلاح والصيانة - خلط اللغات خلط اللغات والتناوب اللغوي - عاصفة عراقية... تضرب الكويت -اخبار الكويت - استخدام التقانة الحيوية في تصنيع الأدوية الإنسولين البشري - زجاج معشق بصفائح النحاس - حضارة قرطاجية تاريخ قرطاجة - هاتف وعنوان مستوصف الثويني - حي النسيم, مدينة الرياض - يوجين نايدا حياته - عظم القص أجزاء عظم القص - طوطوه حياته - مورسكيون الديموغرافيا - القبضاي (مسلسل) قصة المسلسل - ساكب التسمية - الرحبيين (القلعيين) أصل القبيلة و تاريخها - تاريخ البوليمر وأساس تصنيفه وصفاته مقدمة في علم البوليمراتكيمياء البوليمرات Ch istry of Polymers » جامعة أم القرى - سبائك الألومنيوم سبائك الالومنيوم الاخرى اضافات الالومنيوم الاخرى - الليلة الثانية عشرة أو كما تشاء تحليل المسرحية - دانة مهلبة الوصف النباتي - مستذئبو تيارسوليو وصف - بويراز كارايل (مسلسل) قصة المسلسل - تريسي لوردز حياتها الشخصية - عدد السعرات الحرارية في البسطرمة والطاقة والقيمة الغذائية - شبه موصل دخيل استخدامات شبه الموصل الدخيل - أوم شانتي أوم القصة - هاتف وعنوان مستشفى العبيد - المبرز, الاحساء - الدخول بالملابس الرسمية (مسرحية) قصة المسرحية -
آخر المشاهدات هاتف وعنوان مستوصف بريدة لطب الأسنان - بريده 2, القصيم - تصميم المنتجات مراحل عملية التصميم - مزيج راسيمي موضوعات متعلقة - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج محاسبة جاهزة doc , مشاريع تخرج محاسبة بكالوريوس - - ما قبل الرفائيلية رواد مدرسة ما قبل الرفائيلية - طريقة عمل كفتة لحم مشويه بطريقتي بالصور لعيد الاضحى المبارك - وردية الوصف النباتي - طريقة عمل اللحم المكتوم بالبصل بطعم لذيذ - قبيلة الصلبه نسب القبيلة وافخاد القبيلة - خبز التفتون أنظر أيضاً - ناصر بن جريد أولاد الشاعر ناصر بن جريد - حمزة يوسف إسلامه ونشأته - طريقة عمل وصفة سلطة قيصر أو السيزر سلط من تشيليز الشهية - هاتف وعنوان مستوصف الامل - ينبع البحر - ينبع - [بحث جاهز للطباعة] قائمة بعناوين مشاريع التخرج لتخصص الرياضيات - - ابن نغريلة مسيرته - فردريك سودي - التاجر (مسلسل) التاجر (مسلسل) - هاتف وعنوان مستشفى الدكتور محمد فخري - الخبر, مدينة الخبر - دراسة جدوى مفصلة لمشروع إنتاج الكحول من المولاس - معالجة حرارية أنواعه - قائمة أمثال حجازية أمثال الحب والكراهيه - خصائص معلمة رياض الأطفال - سور القران لكل شهر من شهور الحمل - هاتف وعنوان مستشفى غسان نجيب فرعون - السلامه, جدة - قائمة مغنيات لبنانيات قائمة - هاتف وعنوان مستوصف سلامات - حائل - الكتياب ومن ابرز ابناء الكتياب - هاتف وعنوان شركة الغاز والتصنيع الأهلية - خميس مشيط, عسير - هاتف وعنوان مطبخ الوفاء - البلد, المدينة المنورة - علم الاختلاج قائمة بالإختلاجات - تلبيسة الاسنان .. هل يمكن ازالة التلبيسه الدائمه؟ - هاتف وعنوان عيادة الدكتورة نجمة عبد الشكور - المربع, مدينة الرياض - هاتف وعنوان مستوصف سنمار الطبي - النسيم, مدينة الرياض - هاتف وعنوان محلات الطويلعي للغاز - القريات, الجوف - طريق تازولت - قبيلة الوجيه نسب قبيلة الوجيه - دالة رتيبة الدوال الرتيبة في التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل - طريقة تحضير خبز مبسس تونسي من الشيف منال العالم - دالة بيتا الخصائص - مستشعر الحساسات الضوئية - حلقات نيوتن - سليق (طعام) المعلومات الغذائية - معادلة هاميلتون دالة هاميلتون و دالة لاغرانج - الأهمية الاقتصادية للبكتيريا إنتاج العقاقير الطبية - أرخميدس حياته - ممدوح خسارة مؤلفاته - برونسيلاف مالينوفسكي حياته - غوادلوبي (مسلسل) القصة - بيلين فابرا - محفظة (دواء) تعريف - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج نظم معلومات , مشروع تخرج شبكات - - لويز لابيه - إزالة التفاف تطبيقات إزالة الالتفاف - فضيحة في بوهيميا ملخص القصة - مخطط الحديد والكربون مخطط أطوار الحديد والكربون - إدارة المساحة العسكرية (مصر) مديري الإدارة - توزيع ماكسويل-بولتزمان تطبيقات عملية لتوزيع ماكسويل-بولتزمان - مزرعة الرياح التصميم - دالة لوجستية المعادلة التفاضلية اللوجستية - معلومات عامة عن النظام السياسي الماليزي من السفارة السعودية في ماليزيا - الهيئة العامة للطيران المدني (السودان) مركز الملاحة الجوية - قائمة شخصيات هاري بوتر الشخصيات الرئيسية - نموذج قرار الشركاء بتصفية شركه بالسعودية - جوامع منطقية الجامع النصفي Half Adder - توفيق المنحنيات - استخدام التقانة الحيوية في تصنيع الأدوية الإنسولين البشري - قلاب (إلكترونيات) أنواع القلابات - معمارية المنظمات المضمون - قطع مكافئ تاريخ - ولاية القصرين التاريخ - سايثيريا - هاتف وعنوان مفروشات عبد الواحد البكيري - بلجرشي, الباحة - رنين (كيمياء) مثال البنزول - مدرسة المشاغبين (مسرحية) قصة المسرحية - فاينس الإسم بالهيروغليفية - العشيري العشيري أو ال عشيرى - التعليم في عصر محمد علي المدارس في عصر محمد علي - [بحث جاهز للطباعة] بحث علمي جاهز عن الاهرامات - - نظرية جشطالتية - الخليوي نبذة عن عائلة الخليوي - جدول القواسم بعض المصطلحات المتعلقة - متلازمة بيير روبين الأسباب - الاستعلام عن صلاحية دفتر المركبة بالكويت - مضخة هيدروليكية أنواع المضخات الهيدروليكية - هاتف وعنوان مستوصف السلام والحياة الطبي - املج, تبوك - سداسي أضلاع السداسي المنتظم - سرعة النمو عند الذكور و الإناث منذ الولادة و حتى عمر 18 سنة - تعدد المنهجيات البحث مختلط الطرق - قشلاق أورتاداغ حاجي أباد (مقاطعة بغŒله سوار) - هواتف مستشفى الملك فهد و معلومات عنها فى بجــــــازان بالسعودية - سنفية - الحميص - محمد الهراوي الإنتاج الشعري - قنفذي من أنواعه في الوطن العربي - سبابليكس تاريخ اللعبة - جين أير (رواية) مقدمة عن الحبكة - قائمة مستشفيات ولاية الخرطوم - مبدأ المطابقة مبدأ المطابقة - قرينة الانكسار قيم قياسية - محزز الحيود - عدد السعرات الحرارية في سمك الزبيدي والطاقة والقيمة الغذائية - مقراب عاكس معلومات تاريخية - طريقة عمل شيش طاووق منزلي على الصاج وبدون فحم .. بالصور - ثلاثة أمتار فوق السماء (فيلم) القصة - خليل تقي الدين نبذة - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع إنتاج منتجات الألبان - خطوط طيف الهيدروجين فيزياء - تفكير تبايني - قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج فقدان شهية الطعام وفتح الشهيه للاكل بالاعشاب - هدايا فروبل حركة فروبل - استديوهات عجمان الخاصة - هاتف وعنوان مستشفى المغربي للعيون والأذن والأسنان - النزله, جدة - الية صناعة الكبسولات الصلبة الجيلاتين الخام - هاتف وعنوان مطاعم ومطابخ بيت الكاتم - حائل - شهيرة فهمي نشأتها - هاتف وعنوان محل النورس للخط- رأس تنوره, الدمام - مميزات وعيوب تربية الدجاج في بطارية الجريد - هاتف وعنوان مستوصف الجزيرة - النسيم, مدينة الرياض - دائرة وادي ليلي المؤسسات الحكومية - عمر حكيم (ممثل صوت) أدواره في الدبلجة العربية - هاتف وعنوان مطعم المائدة - النسيم, مدينة الرياض - طريقه تحضير الفاصوليا الحمرا بجوز الهند - طريقه معرفة نوع الجنين وترجيح المولود القادم بأذن الله - طريقة تحضير وصفة لحم ناشف (دندن) خطوة بخطوة - الجمعية الأوروبية لطب أطفال والعناية المركزة لحديثي الولادة الأهداف - هاتف وعنوان محل قلعة الصخور للأحجار الكريمة - الصفا, جدة - قبيلة البوادرة.. التي تسكن منطقة البطانة - هاتف وعنوان مستشفى العبيد - المبرز, الاحساء - هواتف شركة التعهدات والمشاريع الانشائية المحدودة ومعلومات عنها بالسعودية - هاتف ومعلومات عن شركة الاطعمة والترفيه التجارية المحدودة بالرياض - أحرار الجنس مثل الناس القصة - هاتف وعنوان بقالة الخليوي - الحايط, حائل - ابن سهل الأندلسي حياته - تراجيديا تعريفها - المفوضية الشعبية للشؤون الداخلية - خليج سبنسر التاريخ - اختصارات مستخدمة في الوصفات الطبية - حارة المساعدية أشهر المدارس - ري فورويا ظهوره - شبكة بايزية - استديو تلفزيون أنواع الاستُديوهات - خلية جلفانية وصف الخلية الجلفانية - طريقة عمل كاساديا الدجاج بطعم لذيذ - طريقة عمل وصفة كاساديا الدجاج chicken casadilla الشهية - ثقافة تركيا الشعب - هاتف وعنوان مطعم اسطنبول -الباحه, الباحة - وصفة لعلاج سلس البراز بالاعشاب الطبيعية - مكثف (كهرباء) قوانين - هاتف وعنوان مستوصف الرأي الطبي - الخليج, الدمام - طريقة عمل وصفة برياني الدجاج السريع من اكلات منال العالم - نورمان فوستر السيرة الذاتية - هاتف وعنوان مستشفى الدكتور غسان نجيب فرعون - خميس مشيط, عسير - البقوم نبذة - هاتف مركز غرناطة الصحي بالرياض و معلومات عنه بالسعودية - رحلة ابن فطومة ملخص القصة - طريقة عمل مرق البطاطا بطريقة سهلة - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج جاهز كامل , مشاريع تخرج جاهزة كاملة - - هاتف وعنوان مستشفى النساء والولادة بحائل - حائل - هاتف وعنوان مطعم الشجرة -الشرفيه, جدة - جيمس دين (ممثل إباحي) حياته المبكرة - [بحث جاهز للطباعة] خاتمة بحث ديني علمي عربي قصيره - - هاتف وعنوان مطعم مندي البكيرية - البكيريه, القصيم - نتالي كاردون السيرة الذاتية - هاتف وعنوان النحلة والنحال للعسل والأعشاب - لاسلكي, الدمام - منظور أنواع المنظور - عدد السعرات الحرارية في سمك البني والطاقة والقيمة الغذائية - هواتف مستشفى الصحة النفسية و معلومات عنها بعسير بالسعودية - معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة - صلب كربوني أنواعه - هاتف وعنوان مطبخ سويد - الطائف المركزي, الطائف - علم الجريان مجال تطبيقات الريولوجيا - فريديريك فروبل لمحة عن حياته - أزرق الميثيلين التحضير - تملح المياه في سلطنة عمان - شمندر الوصف النباتي - هواتف مكتب الضمان الاجتماعى النسوي بالرياض ومعلومات عنها بالسعودية - هاتف وعنوان مستشفى عبيد التخصصي - الملز, مدينة الرياض - هاتف وعنوان مطابخ العيدروس - السليمانيه, جدة - طريقة عمل مشروب الروينه بطعم لذيذ - هاتف وعنوان مستوصف الجزيرة الطبي بشرورة - شروره, نجران - هاتف وعنوان شركة حمد العيسى وأولاده للأجهزة المنزلية - خميس مشيط, عسير - الحدباء (مسلسل) - البجارية مكوناتها - تكامل متعدد مقدمة - إدارة شؤون العاملين بالقوات المسلحة (مصر) مديري الإدارة - علم اجتماع وقت الفراغ نظرية - لهجة زهرانية الكلمة ومعناها باللهجه الزهرانية - هاتف و عنوان سفارة المملكة النيبالية بالسعودية و معلومات عنها - غانم اللميع - ثمار الحب (مسلسل) القصة - ذا بروغريسف - كلية الهندسة (جامعة القاهرة) تاريخ التعليم الهندسي وتاريخ الكلية - هاتف وعنوان مطعم الشباب البخاري - الخبر, مدينة الخبر - هاتف وعنوان شركة بن طالب لبرك السباحة - ابها, مدينة ابها - عنوان وهواتف سفارة نيبال فى السعودية ومعلوات عنها - ليمونيت استخدامات الليمونيت - أبطال ليوكو قصة المسلسل - قائمة حلقات بليتش قائمة الحلقات -
اليوم: السبت 6 يونيو 2020 , الساعة: 12:04 م


اعلانات

محرك البحث


تكامل متعدد مقدمة

آخر تحديث منذ 47 دقيقة و 21 ثانية 547 مشاهدة

اعلانات
عزيزي زائر الموقع تم إعداد وإختيار هذا الموضوع تكامل متعدد مقدمة فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 06/06/2020

مقدمة



كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f (x,y),) والمستوى المحتوي المجال لمجاله . (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة < >f(x,y,z) 1, فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.



التكامل المتعدد لدالة f المعرفة في n متغير f(x_1,x_2,ldots,x_n), على مجال D يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب(الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا)يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية


int ldots mathbf D f(x_1,x_2,ldots,x_n) mathbf d x_1!ldotsmathbf d x_n

وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.


التعريف الرياضي


افترض ان n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n بعداً(من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة لل مستوى n 2, والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.

T (a_1,b_1) imes (a_2,b_2) imescdots imes (a_n,b_n)subset mathbb R^n

قم بتقسيم كل فترة (< >ai,bi) إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز < >Ii.عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة


C I_1 imes I_2 imes cdots imes I_n

هي جزئية من T بمعنى أن المستطيلات الجزئية C هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T.

بعد أي من المستطيلات الجزئية C هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C، وكذلك فإن بعد اي مجموعة معطاة جزئية من T معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.


افترض أن f T →R هي دالة معرفة على المستطيل T. اعتبر التجزيئ التالي


T C_1cup C_2 cup cdots cup C_m

من T المعرفة آنفاً. حيث m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة



sum_ k 1 ^m f(P_k) m(C_k)

حيث، لكل k فان النقطة P_k تقع في النفطة C_k، و m(C_k) هو ناتج الأطوال من الفترات التي ناتجها الكارتيزي هو C_k


في هذه الحالة تسمى دالة f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية



S lim_ delta o 0 sum_ k 1 ^m f(P_k) m(C_k)

معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T ذات البعد delta. إذا امكن تكامل f بريمان فان S تسمى تكامل ريمان ل f على T ويكتب



int_T !f(x),dx.

تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.


ما يلي تكامل ريمان في n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا



الخصائص


التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد(الخطية، التجميع، الاطرادية، الخ). بالإضافة لذلك ،وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة < >D âٹ† R< >n ودالة قابلة للتكامل < >f على < >D، القيمة المتوسطة ل < >f على مجالها يعطى بـ


ar f frac 1 m(D) int_D f(x), dx,

حيث (< >m(< >D هو نظرية القياس مقياس < >D



حالات خاصة


في حالة < >T âٹ† R2، فإن تكامل


ell iint_T f(x,y), dx, dy

هو تكامل ثنائي ل < >f على < >T. وإذا كانت < >T âٹ† R3 فان تكامل



ell iiint_T f(x,y,z), dx, dy, dz


يكون تكامل ثلاثي ل < >f على < >T.


لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)


طرق للتكامل


حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.


الحل المباشر


أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل


الدوال الثابتة


في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة < >c. إذا كانت < >c 1 وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3


  • مثلاً



  • D (x,y) in mathbb R ^2 2 le x le 4 3 le y le 6 and f(x,y) 2,!




    لنكامل < >f على < >D بالنسبة ل < >x أولا




    int_3^6 int_2^4 2 dx, dy mbox area (D) cdot 2 (2 cdot 3) cdot 2 12.




    الحل باستخدام التماثل


    إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).



    من الكافي –في الدوال على R< >n – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.



  • مثال (1)


  • خذ < >f(< >x,  < >y) 2  sin   < >x  −  3< >y3  +  5




    و< >T < >x2  +  < >y2  ≤  1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر   1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط ).



    مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء




    iint_T (2sin x - 3y^3 + 5) , dx , dy iint_T 2 sin x , dx , dy - iint_T 3y^3 , dx , dy + iint_T 5 , dx , dy





    2   sin   < >x' و 3y< >3 كلاهما دالة فردية دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T< > متماثل حول محور x< > وكذلك محور y< >؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.





  • مثال (2)

  • خد الدالة (f< >(x< >,  y< >,  z< >) x< >  exp(y< >2  +  z< >2


    ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T< > x< >2  +  y< >2  +  z< >2  ≤  4.


    الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x< > فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x< >.



    صيغ الاختزال


    صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد(وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي ).


    المجالات البسيطة على R2


    محور x




    اذا كان < >D مجال مقيس عمودي على محور < >x و f D longrightarrow mathbb R هي دالة مستمرة ؛ فإن (خ±(< >x و(خ²(< >x (بالتعريف في الفترة [< >a,  < >b]) هما دالتين اللتين تحددان < >D. إذن



    iint_T f(x,y) dx, dy int_a^b dx int_ alpha (x) ^ eta (x) f(x,y), dy.



    محور < >y




    اذا كان D< > مجال مقيس عمودي على محور y< > و f D longrightarrow mathbb R هي دالة مستمرة؛ فإن(خ±(y< > و(خ²(y< > (بالتعريف في الفترة [a< >,  b< >]) هما دالتين اللتين تحددان D< >. إذن



    iint_T f(x,y) dx, dy int_a^b dy int_ alpha (y) ^ eta (y) f(x,y), dx.



    مثال


    Es pio-formulediriduzione-r2.svg 160 مثال D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال


    اعتبر أن المنطقة D (x,y) x ge 0, y le 1, y ge x^2 (انظر الشكل المقابل). احسب
    iint_D (x+y) , dx , dy.

    هذا المجال عمودي على كلا المحورين x< >و y< >. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.



    في هذه الحالدة الدالتين هما


    alpha (x) x^2 ext and eta (x) 1,!


    بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x< >    0، عليه فان الفترة هي [a< >,  b< >] [0,  1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x< > لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة




    iint_D (x+y) , dx , dy int_0^1 dx int_ x^2 ^1 (x+y) , dy int_0^1 dx [xy + frac y^2 2
    ight]^1_ x^2





    (في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x< > ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة




    int_0^1 [xy + frac y^2 2
    ight]^1_ x^2 , dx int_0^1 (x + frac 1 2 - x^3 - frac x^4 2
    ight) dx cdots frac 13 20 .





    إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور y< >نقوم بالآتي




    int_0^1 dy int_0^ sqrt y (x+y) , dx.





    وسنحصل على نفس النتيجة



    Dominio-normalità r3 es pio.svg 160 مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy< >



    المجالات البسيطة على R3


    امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما

    T< > هو مجال عمودي على المستوى xy< > باعتبار الدوال (خ± (x< >,y< > و(خ²(x< >,y< >، إذن




    iiint_T f(x,y,z) dx, dy, dz iint_D dx, dy int_ alpha (x,y) ^ eta (x,y) f(x,y,z) , dz



    تغيير المتغيرات


    حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ تغيير المتغيرات لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.



    مثال (1-أ)




    الدالة هي f(x, y) (x-1)^2 +sqrt y

    إذا تبنينا هذا البديل x' x-1, y' y , ! لذلك x x' + 1, y y' ,!

    نحصل على الدالة الجديدة f_2(x,y) (x')^2 +sqrt y.





    • وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x< > ,y< > في المثال).

    • التفاضلات(d(x< >و (d(y< > يتم تحويلها عبر محددة مصفوفة جاكوبي المصفوفة الجاكوبية


    المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).


    توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.



    الإحداثيات القطبية


    Passaggio in coordinate polari.svg 270 التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

    في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات معينة يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية(انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية(P(x,y< > في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.




    العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية


    f(x,y)
    ightarrow f(
    ho cos phi,
    ho sin phi).





    مثال (2-أ)



    الدالة هي f(x,y) x + y,!

    وبتطبيق التحويل نحصل على


    f(
    ho, phi)
    ho cos phi +
    ho sin phi
    ho (cos phi + sin phi).





    مثال (2-ب)



    الدالة هي f(x,y) x^2 + y^2,!

    في هذه الحالة لدينا


    f(
    ho, phi)
    ho^2 (cos^2 phi + sin^2 phi)
    ho^2,!





    باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات دپو د† ابتداءً من x< > وy< >





    Es pio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg 230 مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.




    مثال (2-ج)



    المجال هو D x^2 + y^2 le 4,! وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة, إذن د† تتراوح بين 0 و 2د€, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2




    مثال (2-د)



    المجال هو D x^2 + y^2 le 9, x^2 + y^2 ge 4, y ge 0 وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y< > (أنظر الشكل)، لاحظ ان د† تصف زاوية مستوى، بينما دپ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي







    T 2 le
    ho le 3, 0 le phi le pi . ,




    المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي


    frac partial (x,y) partial (
    ho, phi)


    egin vmatrix

    cos phi & -
    ho sin phi \

    sin phi &
    ho cos phi

    end vmatrix
    ho



    والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل(x< > دپ cos(د† و(y< > دپ sin(د† في العمود الأول باعتبار دپ، وفي العمود الثاني باعتبار د†، لذا فإن التفاضلات dx  dy< > في هذا التحويل تصبح دپ d< >دپ d< >د†.



    ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية



    iint_D f(x,y) dx, dy iint_T f(
    ho cos phi,
    ho sin phi)
    ho , d
    ho, d phi.



    لاحظ أن د† صالحة في الفترة [0, 2د€] بينما دپ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.



    مثال (2-هـ)




    الدالة هي ƒ< >(x< >,  y< >) x< > والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).



    من التحليل السابق ل D< > نعلم فترة دپ (بين 2 و 3) وفترة د† (بين 0 و 2د€).إذن لنقم بتغيير الدالة







    f(x,y) x longrightarrow f(
    ho,phi)
    ho cos phi.,





    أخيراً، لنطبق صيغ التكامل





    iint_D x , dx, dy iint_T
    ho cos phi
    ho , d
    ho, dphi.





    بتعريف الفترة يصبح لدينا





    int_0^pi int_2^3
    ho^2 cos phi d
    ho d phi int_0^pi cos phi d phi [ frac
    ho^3 3
    ight]_2^3 [ sin phi
    ight]_0^pi (9 - frac 8 3
    ight) 0.




    الإحداثيات الأسطوانية


    Cylindrical inates.svg 190 الإحداثيات الأسطوانية.

    في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في نظام إحداثي أسطواني الإحداثيات الأسطوانية ؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية


    f(x,y,z)
    ightarrow f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)

    يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.


    مثال(3-أ)



    المنطقة هي D x^2 + y^2 le 9, x^2 + y^2 ge 4, 0 le z le 5 (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة T 2 le
    ho le 3, 0 le phi le pi, 0 le z le 5 (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).



    ولأن العنصر z< > لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz< > تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون دپ dدپ dد† dz< >.



    أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية



    iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz iiint_T f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)
    ho , d
    ho, dphi, dz.



    هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z< >، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.



    مثال(3-ب)



    الدالة هي f(x,y,z) x^2 + y^2 + z,!، ومجال التكامل هو هذه أسطوانة (هندسة رياضية) الأسطوانة D x^2 + y^2 le 9, -5 le z le 5




    تحويل D< > في إحداثيات أسطوانية هو الآتي







    T 0 le
    ho le 3, 0 le phi le 2 pi, -5 le z le 5 .





    بينما تصبح الدالة





    f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)
    ho^2 + z,!





    أخيراً، نطبق صيغة التكامل





    iiint_D (x^2 + y^2 +z) , dx, dy, dz iiint_T (
    ho^2 + z)
    ho , d
    ho, dphi, dz





    بتعديل الصيغة نحصل على





    int_ -5 ^5 dz int_0^ 2 pi dphi int_0^3 (
    ho^3 +
    ho z), d
    ho 2 pi int_ -5 ^5 [ frac
    ho^4 4 + frac
    ho^2 z 2
    ight]_0^3 , dz






    2 pi int_ -5 ^5 (frac 81 4 + frac 9 2 z
    ight), dz cdots 405 pi.




    الإحداثيات الكروية


    Spherical inates (Colatitude, Longitude).svg 190 الإحداثيات الكروية.

    بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في نظام إحداثي كروي إحداثيات كروية < >، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة



    f(x,y,z) longrightarrow f(
    ho cos heta sin phi,
    ho sin heta sin phi,
    ho cos phi),!

    لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x< > لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح phi< > بين 0 ود€.



    من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.


    مثال (4-أ)


    خذ المجال D x^2 + y^2 + z^2 le 16 (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة T 0 le
    ho le 4, 0 le phi le pi, 0 le heta le 2 pi .

    محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية




    frac partial (x,y,z) partial (
    ho, heta, phi)



    egin vmatrix

    cos heta sin phi & -
    ho sin heta sin phi &
    ho cos heta cos phi \

    sin heta sin phi &
    ho cos heta sin phi &
    ho sin heta cos phi \

    cos phi & 0 & -
    ho sin phi

    end vmatrix
    ho^2 sin phi




    المشتقات dx dy dz< > تتحول إلى دپ2 sin(د†) d< >دپ d< >خ¸ d< >د†.






    أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية





    iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz iiint_T f(
    ho sin phi cos heta,
    ho sin phi sin heta,
    ho cos phi)
    ho^2 sin phi , d
    ho, d heta, dphi.





    يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).





    مثال (4-ب)



    D< > هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) وf(x,y,z) x^2 + y^2 + z^2,! هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.






    تحويلها سهل جدا





    f(
    ho sin phi cos heta,
    ho sin phi sin heta,
    ho cos phi)
    ho^2,,





    بينمانعرف فترة المنطقة T< > الناتجة عن تحويل D< >







    (0 le
    ho le 4, 0 le phi le pi, 0 le heta le 2 pi).,





    نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل





    iiint_D (x^2 + y^2 +z^2) , dx, dy, dz iiint_T
    ho^2
    ho^2 sin heta , d
    ho, d heta, dphi,





    وبالتبسيط نحصل على





    iiint_T
    ho^4 sin heta , d
    ho, d heta, dphi int_0^ pi sin phi ,dphi int_0^4
    ho^4 d
    ho int_0^ 2 pi d heta 2 pi int_0^ pi sin phi [ frac
    ho^5 5
    ight]_0^4 , d phi






    2 pi [ frac
    ho^5 5
    ight]_0^4 [- cos phi
    ight]_0^ pi 4 pi cdot frac 1024 5 frac 4096 pi 5 .




    مثال (4-جـ)



    المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a< > (D x^2 + y^2 + z^2 le 9a^2 ,!) وf(x,y,z) x^2 + y^2,! هي دالة المراد مكاملتها.






    بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T< > هي







    0 le
    ho le 3a, 0 le phi le 2 pi, 0 le heta le pi.,





    ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على





    f(x,y,z) x^2 + y^2 longrightarrow
    ho^2 sin^2 heta cos^2 phi +
    ho^2 sin^2 heta sin^2 phi
    ho^2 sin^2 heta.





    بتطبيق صيغة التكامل نحصل على





    iiint_T
    ho^2 sin^2 heta
    ho^2 sin heta , d
    ho, d heta, dphi iiint_T
    ho^4 sin^3 heta , d
    ho, d heta, dphi





    والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية ،و تصبح فترات T< > الجديدة هي







    0 le
    ho le 3a, 0 le phi le 2 pi, - sqrt 9a^2 -
    ho^2 le z le sqrt 9a^2 -
    ho^2





    تم التحصل على الفترة z< > بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D< > (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2< > إلى دپ2< >). الدالة الجديدة تصبح أذن دپ2< >. بتطبيق صيغة التكامل







    iiint_T
    ho^2
    ho d
    ho d phi dz.





    نحصل بعدها على





    int_0^ 2 pi dphi int_0^ 3a
    ho^3 d
    ho int_ - sqrt 9a^2 -
    ho^2 ^ sqrt 9 a^2 -
    ho^2 , dz 2 pi int_0^ 3a 2
    ho^3 sqrt 9 a^2 -
    ho^2 , d
    ho.





    الآن نطبق التحويل





    9 a^2 -
    ho^2 t,! longrightarrow dt -2
    ho, d
    ho longrightarrow d
    ho frac d t - 2
    ho ,!





    (الفترات الجديدة تصبح 0, 3a longrightarrow 9 a^2, 0). نحصل على





    - 2 pi int_ 9 a^2 ^ 0
    ho^2 sqrt t , dt





    ولأن
    ho^2 9 a^2 - t,!، نحصل على





    -2 pi int_ 9 a^2 ^0 (9 a^2 - t) sqrt t , dt,





    بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.





    2 pi [ int 0^ 9 a^2 9 a^2 sqrt t , dt - int 0^ 9 a^2 t sqrt t , dt
    ight] 2 pi [9 a^2 frac 2 3 t^ frac 3 2 - frac 2 5 t^ frac 5 2
    ight]_0^ 9 a^2






    2 cdot 27 pi a^5 (6 - frac 2 5 ) 54 pi frac 28 5 a^5 frac 1512 pi 5 a^5.





    الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية



    أمثلة


    التكامل الثنائي


    لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f< > خلال منطقة A< >




    A (x,y) in mathbb R ^2 11 le x le 14 7 le y le 10 وf(x,y) x^2 + 4y,!




    لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي



    int_7^ 10 int_ 11 ^ 14 (x^2 + 4y) dx, dy




    يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x< >، يجب اجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy< >. لاحظ أننا في البدء نعتبر y< > ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل .








    egin

    int_ 11 ^ 14 (x^2 + 4y) dx & (frac 1 3 x^3 + 4yx
    ight)Big _ x 11 ^ x 14 \

    & frac 1 3 (14)^3 + 4y(14) - frac 1 3 (11)^3 - 4y(11) \

    & 471 + 12y \

    end



    بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y< >








    egin

    int_ 7 ^ 10 (471 + 12y) dy & (471y + 6y^2)ig _ y 7 ^ y 10 \

    & 471(10) + 6(10)^2 - 471(7) - 6(7)^2 \

    & 1719 \

    end



    الحجوم


    حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين

  • التكامل الثنائي



  • iint_D 5 dx, dy


    للدالة 5 (f< >(x,< >y محسوبة في المنطقة < >D من مستوى < >xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات




    iiint_mathrm parallelepiped 1 , dx, dy, dz




  • التكامل الثلاثي



  • iiint_mathrm parallelepiped 1 , dx, dy, dz


    للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.



    حساب الحجوم


    بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام

  • أسطوانة (هندسة رياضية) الأسطوانة اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر < >R، والدالة ثابتة بالارتفاع < >h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي



  • mathrm Volume int_0^ 2 pi d phi int_0^R h
    ho d
    ho h 2 pi [frac
    ho^2 2
    ight]_0^R pi R^2 h





    < >التحقق الحجم مساحة القاعدة* الارتفاع pi R^2 cdot h




  • الكرة وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة < >1 في الكرة ذات نفس نصف القطر < >R



  • mathrm Volume int_0^ 2 pi , d phi int_0^ pi sin heta, d heta int_0^R
    ho^2, d
    ho 2 pi int_0^ pi sin heta frac R^3 3 , d heta frac 2 3 pi R^3 [- cos heta]_0^ pi frac 4 3 pi R^3.



  • رباعي السطوح ( هرم مثلثي ذو 4 وجوه) حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار ،كمثال، ال normality على المستوى < >xy ولمحور < >x ومثل الدالة الثابتة < >1.




  • mathrm Volume int_0^ell dx int_0^ ell-x , dy int_0^ ell-x-y , dz int_0^ell dx int_0^ ell-x (ell - x - y), dy






    int_0^ell (ell^2 - 2ell x + x^2 - frac (ell-x)^2 2 ), dx ell^3 - ell ell^2 + frac ell^3 3 - [frac ell^2 2 - ell x + frac x^2 2
    ight]_0^ell






    frac ell^3 3 - frac ell^3 6 frac ell^3 6





    < >التحقق الحجم مساحة القاعدة * الارتفاع /3 frac ell^2 2 cdot ell/3 frac ell^3 6 .





    Dominio improprio.svg 140 مثال لمجال معتل.


    التكامل المعتل المتعدد


    في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.



    التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع



    حسب نظرية فوبيني Fubini's theorm


    int_ A imes B f(x,y) ,d(x,y) تفاضل تكامل

    Areabetweentwographs.svg التكامل كمساحة بين منحنيين.

    Volume under surface.png التكامل الثنائي كحجم تحت سطح z x^2-y^2. منطقة المستطيل الواقع أسفل الجسم هو مجال التكامل بينما السطح هو بياني الدالة ذات متغيرين التي يتم تكاملها.

    التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل f(x,y), أوf(x,y,z),

    شاركنا رأيك

     
    اعلانات
    التعليقات

    لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

    أقسام الموقع المتنوعة أوجدت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع تكامل متعدد مقدمة ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 06/06/2020



    الأكثر مشاهدة خلال 24 ساعة
    الأكثر قراءة
    اعلانات
    المصادر بحث علمي عن الطلاق نبات الداتورا موضوع البحث الخزاعي Types محمد حلمي العملات الورقية الياف تركيب نسجى أيتا تكامل خطي المستوصف الخليجي الطبي الواديين التنبؤ انواع الاعشاب لعلو S.O القراءات الشيحة قانون المرافعات المدنية والتجارية فيدياس فيدياس سيرته بيتى فور حلويات باتشي الصوت ما هو الصوت التسويق رومية لعبة العروش الغريفه المطاطي الشعثمي الانلين علم النفس الفسيولوجي فوائد الحناء الخرسانة ذاتية الدمك الصمت دونان جان هنري دونان تبوك جيوتقنية كاتشب الأجنات رفوف الطول والوزن اصلاح ثلاجات مسيرة الخضراء antibiotic نيايج احمد تي بحث عن التسويق أوديب ملكا Statistics دولمة كومانيا كشاف صالح طريق مكة تدفق البيانات عدد القرى علم تشريح النبات طبخ بوشير بوجير طمبدي توفيق المنحنيات الالكان العزم المغناطيسي نظم المعلومات عيادة الاسنان فناير ازيهر مولى سهيل بن عمرو العصور الحجرية فرينش فرايز أبو جعفر النحاس نتيجة تحليل anemia الكربوهيدرات تخريج حديث سبيع السبعينيات الهادي كعبار الشركسي الدانه حسين محي الدين الحبال الكود شحرور محمد شحرور مقياس ليكرت فورت وليم استوديو التشغيل اليدوي تمر حنة تخطيط نظم المعلومات هيماتوكسيلين مايرون تقيس اعراضه مستشفى ميداني كوثرية السياد