متوسط هندسة رياضية خصائص المتوسط

خصائص المتوسط

  • لكل مثلث ثلاثة متوسطات، متوسط لكل رأس وضلع مقابل له.
  • تقاطع تتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة داخل المثلث دائماً، تسمى نقطة وسطى النقطة الوسطى Centroid، ( يمكن إثبات ذلك باستخدام مبرهنة سيفا ).
  • كل متوسط يقسم المثلث إلى مثلثين لهما نفس مساحة المساحة لأن لهما قاعدتين متساويتين، ولهما نفس ارتفاع (مثلث) الارتفاع .
  • في مثلث متساوي الساقين المثلث متساوي الضلعين يكون متوسط الضلع الثالث ارتفاع (مثلث) عمودياً عليه و منصف (هندسة رياضية) منصفًا للزاوية المقابلة له.

موقع النقطة الوسطى في المتوسط

موقع النقطة الوسطى في المتوسط.png تصغير 300بك النقطة P هي نقطة تقاطع المتوسطات للمثلث ABC
تقسم نقطة تقاطع المتوسطات ( النقطة الوسطى ) المتوسط إلى جزئين
النسبة بينهما 2 1 من جهة القاعدة، و 1 2 من جهة الرأس.

أي أن النقطة الوسطى تبعد عن رأس المتوسط مسافة قدرها ثلثي طول المتوسط.

البرهان

في المثلث ABC رسمنا المتوسطات AD,BE,CF والنقطة P هي النقطة الوسطى، النقطتين G,H في منتصفي PC,PB على الترتيب، سنثبت أن النطقة P تقسم المتوسط إلى جزئين النسبة بينهما 1 2 من جهة الرأس.

المطلوب frac PC PF 2 أو frac PB PE 2

القطعة المستقيمة EF تصل بين منتصفي ضلعين في المثلث ABC إذا EF توازي (هندسة) توازي الضلع الثالث BC و EF frac 1 2 BC.

كذلك الحال مع القطعة GH في المثلث PBC إذا GH توازي BC و GH frac 1 2 BC.

رباعي الأضلاع الرباعي FEGH فيه ضلعان EF و GH متوزايان حيث يوازي كل منهما BC، ومتطابقان حيث يساوي كل منهما نصف BC.

إذا الرباعي FEGH متوازي أضلاع ، و من خصائص متوازي الأضلاع أن قطر (رياضيات) القطرين FG و EH ينصفان بعضها البعض .

Rightarrow PF PG frac 1 2 PC,PE PH frac 1 2 PB

وهو المطلوب إثباته وهو المطلوب .

حساب طول المتوسط

في المثلث ABC، الذي رؤوسه A,B,C،وأطوال أضلاعه المقابلة لهذه الرؤوس a,b,c على الترتيب، يعطى طول المتوسط m_a , النازل من الرأس A بالعلاقة

m_a sqrt frac 2 b^2 + 2 c^2 – a^2 4

من الممكن الحصول على العلاقة السابقة بتطبيق مباشر لـ مبرهنة ستيوارت .

مساحة المثلث ومتوسطاته

لرسم مثلث XYZ أضلاعه متوسطات المثلث ABC، نرسم قطعتين مستقيمتين من طرفي أحد المتوسطات بحيث تطابقان وتوازيان المتوسطين الآخرين.

مساحة المثلث XYZ تساوي ثلاثة أرباع مساحة المثلث ABC.

Rightarrow Area_ ABC frac 4 3 Area_ XYZ

وبتطبيق صيغة هيرو على المثلث XYZ الذي أضلاعه متوسطات المثلث
(m_a,m_b,m_c ,) سنحصل على صيغة جديدة قوانين مساحة المثلث لمساحة المثلث ABC بدلالة أطوال متوسطاته

Area_ ABC frac 4 3 sqrt S_m(S_m – m_a)(S_m – m_b)(S_m – m_c)

حيث S_m frac m_a + m_b + m_c 2

مركز ثقل المثلث

Baricentro تصغير (bary ) نقطة وسطى المثلث نقظة تقاطع متوسطات المثلث
تتقاطع متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة تعرف باسم نقطة وسطى النقطة الوسطى للمثلث، وتكون واقعة دائماً داخل المثلث.

تسمى هذه النقطة أحياناً مركز ثقل المثلث.

لأننا إذا وضعنا ثلاث كتل متساوية عند رؤوس المثلث فإن مركز ثقلها ستكون عند هذه النقطة.

يمكن إيجاد إحداثيات إحداثي هذه النقطة في نظام إحداثي ديكارتي المستوى الإحداثي بحساب المتوسط الحسابي لرؤوس هذا المثلث.

اقرأ أيضاً

  • منصف الزاوية
  • ارتفاع (مثلث) ارتفاع المثلث
  • مبرهنة سيفا
  • مبرهنة ستيوارت

Triangle.Centroid.svg متوسطات المثلث (باللون الأحمر)

في الهندسة الرياضية ، المتوسط (Median) في مثلث هو قطعة مستقيمة تصل بين أحد رأس (هندسة رياضية) رؤوس المثلث و منصف منتصف ضلع الضلع المقابل لهذا الرأس .

تعليق واحد

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى