لوغاريتم الأساس والتعريف

الأساس والتعريف

لقد اتت فكرة اللوغاريتم على أنها العملية العكسية رفع (رياضيات) للرفع ، وهي رفع رقم لأس، على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي

2^3 2 imes 2 imes 2 8. ,

وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي

log2&nbsp 8&nbsp &nbsp 3.

الرفع

يمكننا القول أن ناتج رفع رقم ما < >b إلى الأس 3 هو حاصل ضرب الرقم < >b بنفسه ثلاث مرات، وبالتعميم فإن ناتج رفع الرقم < >b إلى الأس < >n هو حاصل ضرب < >b بنفسه < >n مرة أي

b^n underbrace b1 imes b2 imes cdots imes bn _ n ext factor .

التعريف

يعرف لوغاريتم عدد ما < >x بالنسبة للأساس < >b بأنه الأس الذي يجب أن يرفع له < >b لينتج عنه < >x أو يمكننا القول بأن لوغاريتم < >x بالنسبة للأساس < >b هو الأس < >y في المعادلة Citation last1 Kate first1 S.K. last2 Bhapkar first2 H.R. Basics Of Math atics location Pune publisher Technical Publications isbn 978-81-8431-755-8 year url http //books.google.com/books?id v4R0GSJtEQ4C&pg PR1 v onepage&q&f false , chapter 1

b^y x. ,

وتكتب العبارة (لوغاريتم < >x بالنسبة للأساس < >b) رياضياً بالشكل

log_b ! ( x
ight)

وناتج هذه المعادلة هو الأس y

log_b ! ( x
ight) y

ولتعريف اللوغاريتم يجب أن يكون الأساس عدد حقيقي موجب لايساوي الصفر وx عدد موجب. tag ref The restrictions on < >x and < >b are explained in the section Analytic properties Analytic properties . group م أ

الحساب

من السهل حساب اللوغاريتم في بعض الحالات، مثل < >log10(1,000) 3. لكن بالعموم يمكن حساب اللوغاريتم باستخدام متسلسلة قوى متسلسلة القوى أو باستخدام الهندسة الحسابية بالوسائل التقريبية أو من خلال ايجاده تقريبياً من خلال الجداول اللوغاريتمية. Citation last1 Muller first1 Jean-Michel El entary functions publisher Birkhأ¤user Boston location Boston, MA edition 2nd isbn 978-0-8176-4372-0 year , sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95) Citation author Hart, Cheney, Lawson et al. year 1968 publisher John Wiley location New York Computer Approximations series SIAM Series in Applied Math atics , section 6.3, p. 105–111 كما تستخدم طريقة نيوتن-رافسون التكرارية في حساب اللوغاريتم لأن استخدام هذه الطريقة تمكن من ايجاد دالة عكسية التابع العكسي و دالة أسية التابع الأسي بشكل فعال. Citation last1 Zhang first1 M. last2 Delgado-Frias first2 J.G. last3 Vassiliadis first3 S. Table driven Newton sch e for high precision logarithm generation url http //ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf doi 10.1049/ip-cdt 19941268 journal IEE Proceedings Computers & Digital Techniques issn 1350-387 volume 141 year 1994 issue 5 pages 281–292 , section 1 for an overview وتستخدم طريقة منزلة بمنزلة لحساب اللوغاريتمات إذا كانت العملية المتاحة فقط هي إضافة وتحويل منزلة. Citation url first J. E. last Meggitt Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes journal IBM Journal month April year 1962 doi 10.1147/rd.62.0210 Citation last Kahan first W. authorlink William Kahan Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials date May 20, 2001 publisher journal doi بالإضافة إلى استخدام طريقة لوغاريتم ثنائي حساب اللوغاريتم ثنائي لـ lb(< >x) والتي تقوم على استدعاء ذاتي الاستدعاء الذاتي لمربع x وتكرار العملية والاستفادة من ذلك.

log_2(x^2) 2 log_2 (x). ,

متسلسلة القوى

متسلسلة تايلور

رئيسي متسلسلة تايلور وماكلورين
من أجل عدد حقيقي < >z يحقق المتراجحة nowrap 0 < < >z < 2 ، عندها يمكن كتابة العلاقة Harvard citations editor1-last Abramowitz editor2-last Stegun year 1972 nb yes loc p. 68

ln (z) (z-1) – frac (z-1)^2 2 + frac (z-1)^3 3 – frac (z-1)^4 4 + cdots

من خلال هذه المتسلسلة يمكن حساب قيمة ln(< >z) بشكل أكثر دقة كلما أخذنا بعين الاعتبار زيادة حدود المتسلسلة أي

egin array lllll
(z-1) & &
(z-1) & – & frac (z-1)^2 2 &
(z-1) & – & frac (z-1)^2 2 & + & frac (z-1)^3 3
vdots &
end array

فعلى سبيل المثال تكون قيمة nowrap < >z 1.5 باستخدام ثلاث حدود من المتسلسلة مساوية لـ 0.4167 وهي أكبر بحوالي 0.011 من القيمة الحقيقية لـ nowrap ln(1.5) 0.405465

خواص وقوانين اللوغاريتمات

نظرًا لأن اللوغاريتمات عبارة عن أسس، فإن خصائص الأسس تنطبق عليها.

تاريخ اللوغاريتمات

اللوغاريتمات قديما

نشر عالم الرياضيات إسكوتلندا الأسكتلندي جون نايبير أول بحث وجدول للوغاريتمات عام 1614 م. وقد اكتشف سويسرا السويسري جوبست برجي اللوغاريتمات على نحو مستقل في نفس الوقت تقريبا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي 10 ، وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل هولندا الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز. وحوالي عام 1622 م، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. استمر استخدام جداول برجز – فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة من 1924 و حتى 1949 م تاريخ اللغويتمات القديم.

اللوغاريتمات حديثا

أدى استخدام حاسوب الحواسيب و آلة حاسبة الحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية تاريخ اللغويتمات الحديث.

إستخدامات اللوغاريتمات

  • الضرب ، لضرب رقمين باستخدام اللوغاريتمات، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكل من الرقمين في الجدول، وإجمع هذين اللوغاريتمين للحصول على لوغاريتم حاصل ضرب هذين الرقمين، ثم ابحث عن الرقم الذي يكون لوغاريتمه هو لوغاريتم حاصل ضرب الرقمين، مستخدمًا الجدول مرة أخرى.
  • القسمة ، لقسمة رقم على آخر، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكلٍ من الرقمين في الجدول، واطرح لوغاريتم المقام من لوغاريتم البسط، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو لوغاريتم حاصل عملية الطرح هذه. هذا الرقم هو حاصل القسمة المطلوب.
  • رفع الرقم إلى قوة معينة، لكي ترفع رقمًا إلى قوة معينة، ابحث في الجدول عن لوغاريتم هذا الرقم و ضرب إضرب هذا اللوغاريتم في أُس القوة، ثم ابحث في الجدول عن الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو نفس لوغاريتم حاصل عملية الضرب هذه. هذا الرقم هو القوة المطلوبة للرقم الأول.
  • إيجاد الجذر، لمعرفة جذر رقم ما، ابحث عن لوغاريتم الرقم في الجدول، و قسمة إقسم هذا الرقم على أُس الجذر، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به مساويًا لحاصل عملية القسمة، ويكون هذا هو الجذر المطلوب للرقم.
  • أنواع اللوغاريتمات

    تقسم اللوغاريتمات إلى خمس أقسام- بحسب أنواعها –

    • لوغاريتمات عادية تستخدم كل الأعداد عدا العشرة والاثنين والعدد النيبيري والأعداد المركبة.
    • لوغاريتمات ثنائية تستخدم العدد 2.
    • لوغاريتمات عشرية تستخدم العدد 10.
    • لوغاريتمات طبيعية بحيث تستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية وهو ما يسمى ب العدد النيبيري .
    • لوغاريتمات مركبة تستخدم الأعداد المركبة.

    الأصل اللغوي

    لوغاريتم هي كلمة إنجليزية أُخذت من اسم العالم العربي الخوارزمي .
    أما الأسيس فهي كلمة ذات أصل عربي وهي متناسقة مع الأس والذي يعني وضع الأساس. فالتعبير س4 يعني س تُبنى وتُرفع 4 مرات أي تضرب 4 مرات في نفسها.

    طالع أيضًا

    • الجبر
    • العدد النيبيري
    • الضرب
    • القسمة
    • الجمع
    • الطرح
    • لوغاريتم طبيعي

    مصادر ومراجع

    مراجع
    شريط بوابات تحليل رياضي

    كومنز Category Logarithm
    ضبط استنادي

    تصنيف اختراعات اسكتلندية
    تصنيف لوغاريتمات *
    تصنيف دوال
    Logarithms.png تصغير 300 تمثيل اللوغريتمات، فاللون أحمر الأحمر هو قاعدة العدد النيبيري (e) واللون أخضر الاخصر ، هو قاعدة الرقم 10، واللون الارجواني هو قاعدة 1.7، لاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (1، 0).
    الأسيسhttp //www.almaany.com/ar/dict/ar-en/logarithm/ أو اللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن nowrap 1000 10 × 10 × 10 103. . وبالتعميم يمكن أن نقول بأنه إذا كان بداية لا لف < >x < >b< >y نهاية لا لف فإن لوغاريتم < >x بالنسبة للأساس < >b هو < >y يعبر عن ذلك رياضيات رياضياً بالعلاقة

    < >y log< >b(< >x)

    وبالرجوع إلى المثال يصبح

    بداية لا لف log10(1000) 3. نهاية لا لف

    يعرف لوغاريتم عشري اللوغاريتم العشري بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساس 10 والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات العلمية و الهندسة الهندسية ، الأسيس أو اللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغارتم طبيعي اللوغاريتم الطبيعي بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هو العدد النيبيري (< >e) والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والعلمية و في الرياضيات البحتة وخاصة في تفاضل وتكامل التفاضل والتكامل . في حين يعرف لوغاريتم ثنائي اللوغاريتم الثنائي لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في علم الحاسوب و الدارات المنطقية .

    أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير كوسيلة لتبسيط الحسابات. ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحين والعلماء والمهندسين و الفلكيين وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين مسطرة حاسبة المساطر الحاسبة و جدول رياضي الجداول اللوغاريتمية . كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية

    log_b(xy) log_b (x) + log_b (y). ,

    قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم دالة أسية التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط دالة رياضية بالتوابع .

    كما يستفاد من مقياس لوغاريتمي المقياس اللوغاريتمي من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. فعلى سبيل المثال ديسيبل الديسيبل هو وحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت و نسبة الفولط. كما يستخدم الأس الهيدروجيني (وهو مقياس لوغاريتمي) في الكيمياء لتحديد حمض ية محلول ما ودلك من خلال العلاقة التالية[Ph log[H3O

    اترك تعليقاً

    لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

    زر الذهاب إلى الأعلى